Aplicaciones algebraicas en la creación de abecedarios imaginarios
por/per Alejandro Ochoa G.
Dónde/Ubi:
Guadalajara, Jalisco, México.
20.702085 grados, latitud norte, 103.32535 grados, longitud oeste.
20º 42’ 07.506” N, 103º 19’ 31.26” O
Gvadalaxara, Xaliscum, Mexicum.
Arriāca, Nova Gallæciam, Nova Hispaniam.
En realidad, el autor no sabe latín.
Si encuentran errores, pueden notificar, por favor, en el área de “Comentarios”.
Nescio quemadmodum Latini. Si aliquam invenire erroribus potest referre “Commentarii” area.
Qué/Quid:
Aplicaciones algebraicas en la creación de abecedarios imaginarios
Ex algebrae applicationis creationem abecedārii commentīcia
Cuándo/Quando:
Junio de 2013. VI (Iūnius), MMXIII.
Copyright © 2013 by Alejandro Héctor Ochoa González.
Guadalajara, Jalisco, México.
© 2013 by
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Se pretende que el texto siguiente constituya, en un futuro lejano (debido a falta de tiempo, por ahora), una base parcial para una Introducción a un Diccionario invertido –en el que las palabras que constituirán las entradas se escribirán de derecha a izquierda, pero el orden o la indexación alfabética será de izquierda a derecha según las letras que componen los vocablos resultantes de las inversiones; por ejemplo:
a a
abadla aldaba
abah haba
abart traba
agad daga
agam maga
agas saga
agaz zaga
agleca acelga
alab bala
alac cala
alad dala
alam mala
alas sala
amag gama
asa asa
asac casa
asag gasa
asam masa
asap pasa
asar rasa
asat tasa
atab bata
atac cata
atag gata
atal lata
atam mata
atan nata
atana anata
atap pata
atar rata
atla alta
azetla alteza,
etcétera.
No se trata de descubrir el agua tibia, el hilo negro o el mar Mediterráneo.
Ya existen diccionarios inversos; por ejemplo, uno del académico Ignacio Bosque, editado por Manuel Pérez Fernández, impreso por la compañía española Editorial Gredos; otro de Hermenegildo Campa, etcétera.
Abecedarios imaginarios
Abecedārii commentīcia
1. A veces, la gramática y las matemáticas coinciden en algunos puntos, o pueden revelar ciertas relaciones, o el cerebro humano puede hacer –o imaginar– que determinados elementos, fragmentos, procedimientos, trayectos, etcétera, armonicen, casen o sintonicen en algunos lugares, subdivisiones, tiempos, sistemas… bajo ciertas condiciones.
Todas las ciencias, disciplinas y especialidades guardan ciertas relaciones entre sí. Verdad de Perogrullo.
Este escrito hará coincidir ciertos mecanismos de yuxtaposiciones de letras para formar palabras (o grupos de letras), con algunos valores y fórmulas de álgebra.
La gramática española y el álgebra babilónico-persa-indo-árabe se darán la mano; pero, el álgebra –esa disciplina, rama o división tan importante de la ciencia llamada matemática– será en esta ocasión un auxiliar al servicio de la gramática.
“La provincia del álgebra y el estado federal de la gramática, dentro de, respectivamente, el Serenísimo Imperio de la Matemática y la República Federal del Español.”
En 1492, el erudito español Elio Antonio de Nebrija (1441-1522) dio a conocer su Gramática castellana, la primera gramática de una lengua vulgar que se escribió en Europa.
En aquel tiempo, los modos del verbo, en el idioma español o castellano, eran cinco –hoy son cuatro–, según puede deducirse de un párrafo del citado libro:
“Repártese el verbo en modos, el modo en tiempos, el tiempo en números. El modo en el verbo, que Quintiliano llama calidad, es aquello por lo cual se distinguen ciertas maneras de significado en el verbo. Estos son cinco: indicativo, imperativo, optativo, subjuntivo, infinitivo.”
Hacia el decenio de 1930 los matemáticos estadounidenses Paul K. Rees y Fred W. Sparks publicaron su College Algebra, editado por la McGraw-Hill Book Company, Incorporated, que en español, en la edición mexicana, recibió el nombre de Álgebra, traducido por José Emilio Amores, impreso y editado por Editorial Reverté Mexicana. Este libro, ampliado, seguía siendo impreso, en inglés y en español, en el decenio de 1990.
1.1. Nota 1: en el apartado número 7 hay un Resumen.
1.2. Nota 2: en el apartado número 8 se exponen dos teorías producto de un ejercicio de observación (método inductivo). Véase el punto 7.2.3.
2. Símbolos empleados.
En este escrito serán utilizados tres símbolos principales:
B base
p potencia
R resultado.
2.1. En este ejercicio gramático-algebraico, el número de letras existentes en cada abecedario imaginario que iremos creando constituirá una base matemática (la cual será representada por el símbolo B).
2.2. La cantidad de letras que tendrán las palabras que podremos construir, constituirá el exponente (representado por el símbolo p, escrito como superíndice o carácter volado) indicador de la potencia a la que se ha de elevar la base citada en 2.1. O sea: Bp.
2.2.1. Además, los distintos valores que irá adquiriendo p, según el número de letras que tendrá cada palabra que podamos formar, indicarán tres cosas:
2.2.1.1. El número de términos que tendrá cada fórmula algebraica, y el valor exponencial más alto de cada monomio, binomio, trinomio, cuadrinomio, pentanomio, etcétera. El valor exponencial más alto de cada nomio coincidirá con el número de términos de dicho nomio, como veremos enseguida:
B —esta fórmula tiene un término, y este monomio es la fórmula más sencilla de todas; aquí, p vale uno, o sea: Bp = B1 = B.
B(B-(p-1)) =
B(B-(2-1)) =
B(B-1) =
B2-B —esta fórmula tiene dos términos, y en este binomio el valor exponencial más alto de p es dos.
B(B-(p-2))(B-(p-1)) =
B(B-(3-2))(B-(3-1)) =
B (B-1) (B-2) =
(B2-B) (B-2) =
B3-B2-2B2+2B =
B3-3B2+2B —esta fórmula tiene tres términos, y en este trinomio el valor exponencial más alto de p es tres.
B(B-(p-3))(B-(p-2))(B-(p-1)) =
B(B-(4-3))(B-(4-2))(B-(4-1)) =
B (B-1) (B-2) (B-3) =
(B2-B) (B-2) (B-3) =
(B3-B2-2B2+2B) (B-3) =
(B3-3B2+2B) (B-3) =
B4-3B3+2B2-3B3+9B2-6B =
B4-6B3+11B2-6B —esta fórmula tiene cuatro términos, y en este cuadrinomio el valor exponencial más alto de p es cuatro.
B(B-(p-4))(B-(p-3))(B-(p-2))(B-(p-1)) =
B(B-(5-4))(B-(5-3))(B-(5-2))(B-(5-1)) =
B (B-1) (B-2) (B-3) (B-4) =
(B2-B) (B-2) (B-3) (B-4) =
(B3-B2-2B2+2B) (B-3) (B-4) =
(B3-3B2+2B) (B-3) (B-4) =
(B4-3B3+2B2-3B3+9B2-6B) (B-4) =
(B4-6B3+11B2-6B) (B-4) =
B5-6B4+11B3-6B2-4B4+24B3-44B2+24B =
B5-10B4+35B3-50B2+24B —esta fórmula tiene cinco términos, y en este pentanomio el valor exponencial más alto de p es cinco.
Se pueden crear más fórmulas (véase el sexto párrafo de 6.6.), pero considero que con los ejemplos de arriba bastará.
2.2.1.2. En las “prefórmulas” algebraicas, dentro de los factores algebraicos que tengan dos o más elementos, los sucesivos valores del símbolo p servirán de fundamento para la construcción de ciertos sustraendos que habrán de restarse de B, por ejemplo:
(Los distintos nomios, en estas cinco “prefórmulas” están separados por “punto y coma”.)
B; monomio
B(B-(p-1)); binomio
B(B-(p-2))(B-(p-1)); trinomio
B(B-(p-3))(B-(p-2))(B-(p-1)); cuadrinomio
B(B-(p-4))(B-(p-3))(B-(p-2))(B-(p-1)); pentanomio.
Nota: en los ejemplos anteriores, en el primer nomio el símbolo p tiene un valor de 1; en el segundo nomio, de 2; en el tercer nomio, de 3; en el cuarto nomio, de 4; y en el quinto nomio, de 5.
Luego de ser sustituidos los valores de p, las operaciones matemáticas darán por resultado las siguientes “prefórmulas”:
B;
B(B-(2-1));
B(B-(3-2))(B-(3-1));
B(B-(4-3))(B-(4-2))(B-(4-1));
B(B-(5-4))(B-(5-3))(B-(5-2))(B-(5-1));
B;
B (B-1);
B (B-1) (B-2);
B (B-1) (B-2) (B-3);
B (B-1) (B-2) (B-3) (B-4);
Según las multiplicaciones algebraicas efectuadas en 2.2.1.1., obtendremos los siguientes cinco nomios, que son ejemplos nada más, ya que las posibilidades son infinitas:
B
B2-B
B3-3B2+2B
B4-6B3+11B2-6B
B5-10B4+35B3-50B2+24B
2.2.1.3. En las fórmulas algebraicas resultantes de las multiplicaciones algebraicas indicadas en las “prefórmulas”, el símbolo p señalará el valor exponencial más alto de cada nomio, y los exponentes o potencias de los términos de cada nomio irán descendiendo de 1 en 1, de izquierda a derecha, hasta llegar al valor de 1.
El número de términos de cada nomio es igual al del exponente o potencia “p” más alta de ese nomio, como se puede apreciar en la parte final de 2.2.1.2.
2.3. El símbolo R, que significa: resultado, será usado en pocas ocasiones.
Nota: en ciertas disciplinas matemáticas, así como en la programación informática, algunos autores e ingenieros indican o denotan la elevación de un número a una potencia, no mediante la escritura de un superíndice o número volado (por ejemplo 23 = 8), sino a través de la intercalación de un acento circunflejo o capucha (que en Word 2003 y Word 2007 se puede escribir con la clave ASCII ALT 94, ^; clave Unicode 005E: ^, o bien clave Unicode 0302: ^); por ejemplo 2 ^ 3 = 8. Una y otra modalidades son correctas; aquí, usaremos preponderantemente el superíndice o carácter volado, pero en las Tablas del punto 7, emplearemos la capucha o acento circunflejo.
Por otra parte, el signo de multiplicación (“por”) se puede obtener en Word 2003 y Word 2007 mediante la pulsación de las teclas ALT 158: ×, o bien ALT 0215: ×, o bien mediante la clave Unicode 00D7: ×.
Si en alguna plataforma Windows o Unix que usted emplee, no puede escribir algunos símbolos porque el programa informático no admite claves ALT ni Unicode, o si su teclado no responde, le sugeriré algo: escriba los símbolos, signos, letras raras, letras griegas, y caracteres extraños o poco usados, primeramente en Word, y luego selecciónelos, cópielos y péguelos en el espacio de la Web en el que usted esté escribiendo.
En otra entrada (post) de alguno de mis blogs, puede encontrar numerosas claves ALT y Unicode, para símbolos, signos, letras latinas, letras griegas, etcétera:
3. Imaginemos un ario (abecedario) con una sola letra: a.
3.1. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra cada una, solamente.
3.1.1. De acuerdo con los puntos 2.1. y 2.2., y en virtud de que en nuestro ario hay una letra, elevemos la base 1 a la primera potencia: Bp = B1 = 11 = 1, que es el número de palabras que existirían –una sola palabra–: a.
3.1.2. Ahora introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro ario (1) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (1 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B.
Entonces, como en este caso nuestro ario tiene una letra únicamente: la letra a, aplicamos la fórmula B, y sustituimos: B = 1 (uno), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción: una sola palabra, ya que si nuestro ario tiene solamente una letra (a), y queremos construir palabras de una letra cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso da por resultado una sola palabra: a.
3.2. Luego, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de dos letras cada una, solamente.
3.2.1. Según los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro ario hay una letra, elevemos la base 1 a la segunda potencia (o al cuadrado): 12 = 1 × 1 = 1, que es el número de palabras que existirían –una sola palabra–: aa.
3.2.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro ario (1) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (2 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B(B-1) = B2-B.
Entonces, como en este caso nuestro ario tiene una letra únicamente: la letra a, aplicamos la fórmula, B2-B, y sustituimos: 12-1 = 1-1 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos, de acuerdo con nuestra restricción: cero o ninguna palabra, ya que si nuestro ario tiene solamente una letra (a), y queremos construir palabras de dos letras cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso es imposible.
3.3. Después, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de tres letras, solamente.
3.3.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro ario hay una letra, elevemos la base 1 a la tercera potencia (o al cubo): 13 = 1 × 1 × 1 = 1, que es el número de palabras que existirían –una sola palabra–: aaa.
3.3.2. Ahora, introduzcamos una restricción igual a la anterior: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro ario (1) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (3 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B(B-1)(B-2) = (B2-B)(B-2) = B3-B2-2B2+2B = B3-3B2+2B.
Entonces, como en este caso nuestro ario tiene una letra únicamente: la letra a, aplicamos la fórmula, B3-3B2+2B, y sustituimos: 13-(3)(12)+2(1) = 1-3+2 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos, de acuerdo con nuestra restricción: ninguna, ya que si nuestro ario tiene solamente una letra (a), y queremos construir palabras de tres letras cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso es imposible.
3.4. Más adelante, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cuatro letras, solamente.
3.4.1. De acuerdo con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro ario hay una letra, elevemos la base 1 a la cuarta potencia: 14 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1, que es el número de palabras que existirían –una sola palabra–: aaaa.
3.4.2. Ahora, introduzcamos una restricción igual a las anteriores: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro ario (1) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (4 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B(B-1)(B-2)(B-3) =
(B2-B)(B-2)(B-3) =
(B3-B2-2B2+2B)(B-3) =
(B3-3B2+2B)(B-3) =
B4-3B3+2B2-3B3+9B2-6B =
B4-6B3+11B2-6B.
Entonces, como en este caso nuestro ario tiene una letra únicamente: la letra a, aplicamos la fórmula B4-6B3+11B2-6B, y sustituimos: 14-(6)(13)+(11)(12)-(6)(1) = 1-6+11-6 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción: ninguna, ya que si nuestro ario tiene solamente una letra (a), y queremos construir palabras de cuatro letras cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso es imposible.
(Un paréntesis aclaratorio: como se puede apreciar, las fórmulas para las restricciones proceden de fórmulas de restricciones más simples, como las que han sido expuestas arriba –en el segundo párrafo de 3.2.2., y en el segundo párrafo de 3.3.2.)
3.5. Más adelante, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cinco letras, solamente.
3.5.1. De acuerdo con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro ario hay una letra, elevemos la base 1 a la quinta potencia: 15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1, que es el número de palabras que existirían –una sola palabra–: aaaaa.
3.6. Y así sucesivamente.
3.7. Ahora bien, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra y de dos letras, solamente.
Existirían dos palabras: a, aa (11 + 12 = 1 + 1 = 2). Operación aritmética esta última procedente de la fórmula algebraica: Bp + Bp = R, donde B es la base o número de letras que tiene nuestro ario (1), p es la potencia o exponente que representa la cantidad de letras que tendrán las palabras que podremos construir, y R es el resultado; en este caso: 11 + 12 = 1 + 1 = 2.
Lo anterior está de acuerdo con lo asentado en los puntos 2.1. y 2.2. de este texto gramático-algebraico.
3.8. Asimismo, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una, dos y tres letras cada una, solamente.
Existirían tres palabras: a, aa, aaa (11 + 12 + 13 = 1 + 1 +1 = 3).
3.9. Además, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una, dos, tres y cuatro letras, solamente.
Existirían cuatro palabras: a, aa, aaa, aaaa (11 + 12 + 13 + 14 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4).
3.9.1. Y así sucesivamente.
4. Ahora, imaginemos un abeario (abecedario) con dos letras: a, b.
4.1. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra cada una, solamente.
4.1.1. De acuerdo con los puntos 2.1. y 2.2., y en virtud de que en nuestro abeario hay dos letras, elevemos la base 2 a la primera potencia: Bp = 21 = 2, que es el número de palabras que existirían (dos): a, b.
4.1.2. Ahora introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeario (2) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (1 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B.
Entonces, como en este caso nuestro abeario tiene dos letras (a, b), y además hay una restricción, aplicamos la fórmula B, y sustituimos: B = 2 (dos), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción: dos palabras, ya que si nuestro abeario tiene solamente dos letras (a, b), y queremos construir palabras de una letra cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso da por resultado dos palabras, nada menos y nada más: a, b.
4.2. A continuación, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de dos letras, solamente.
4.2.1. Según los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeario hay dos letras, elevemos la base 2 a la segunda potencia (o al cuadrado): 22 = 2 × 2 = 4, que es el número de palabras que existirían: aa, ab, ba, bb.
4.2.2. Ahora introduzcamos una restricción igual que la anterior: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeario (2 en este ejemplo) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (2 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B(B-1) = B2-B.
Esta fórmula es la misma que aparece en el segundo párrafo de 3.2.2.
Así, como en este caso nuestro abeario tiene dos letras únicamente (a, b), aplicamos la fórmula, B2-B, y sustituimos: 22-2 = 4-2 = 2, que es el número de palabras que tendremos, de acuerdo con nuestra restricción: ab, ba.
4.3. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de tres letras, solamente.
4.3.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeario hay dos letras, elevemos la base 2 a la tercera potencia (o al cubo): 23 = 2 × 2 × 2 = 8, que es el número de palabras que existirían:
aaa
aab aba baa
abb bab bba
bbb.
4.3.2. Ahora, introduzcamos una restricción igual que la anterior, la del punto 4.2.2.: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeario (2) a una potencia igual al número de letras que podrá tener cada palabra (3), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: (B2-B)(B-2) = B3-B2-2B2+2B = B3-3B2+2B.
Esta fórmula es la misma que aparece en el segundo párrafo de 3.3.2.
Así, como en este caso nuestro abeario tiene dos letras únicamente (a, b), aplicamos la fórmula B3-3B2+2B, y sustituimos: 23-(3)(22)+2(2) = 8-12+4 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción: ninguna, ya que si nuestro abeario tiene solamente dos letras (a, b), y queremos construir palabras de tres letras cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso es imposible.
4.4. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cuatro letras, solamente.
4.4.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeario hay dos letras, elevemos la base 2 a la cuarta potencia: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, que es el número de palabras que existirían:
aaaa aaab aaba abaa baaa
aabb abab abba baab baba bbaa
abbb babb bbab bbba bbbb.
4.4.2. Ahora, introduzcamos una restricción igual que la anterior, la del punto 4.3.2.: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeario (2) a una potencia igual al número de letras que podrá tener cada palabra (4), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula (B3-3B2+2B)(B-3) = B4-3B3+2B2-3B3+9B2-6B = B4-6B3+11B2-6B.
Esta fórmula es la misma que aparece en el segundo párrafo de 3.4.2.
Entonces, como en este caso nuestro abeario tiene dos letras únicamente (a, b), aplicamos la fórmula B4-6B3+11B2-6B, y sustituimos: 24-(6)(23)+(11)(22)-(6)(2) = 16-48+44-12 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción: ninguna, ya que si nuestro abeario tiene solamente dos letra (a, b), y queremos construir palabras de cuatro letras cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso es imposible.
4.5. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cinco letras, solamente.
4.5.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeario hay dos letras, elevemos la base 2 a la quinta potencia: 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, que es el número de palabras que existirían:
(16 con “a” inicial):
aaaaa (5 aes)
aaaab aaaba aabaa abaaa (4 aes y 1 be)
aaabb aabab aabba abaab ababa abbaa (3 aes y 2 bes)
aabbb ababb abbab abbba (2 aes y 3 bes)
abbbb (1 a y 4 bes)
(16 con “b” inicial):
baaaa (1 be y 4 aes)
baaab baaba babaa bbaaa (2 bes y 3 aes)
baabb babab babba bbaab bbaba bbbaa (3 bes y 2 aes)
babbb bbabb bbbab bbbba (4 bes y 1 a)
bbbbb (5 bes)
4.6. Y así sucesivamente.
(En matemáticas y en programación informática, cuando no es posible escribir un exponente, suele emplearse el acento circunflejo o capucha o signo de intercalación: ^ o bien un símbolo similar escrito entre la base y la potencia a la que se ha de elevar dicha base: B ^ p. Así resulta que: 25 = 2 ^ 5 = 32.
(También: Bp = B ^ p.)
4.7. Enseguida, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra y de dos letras, solamente.
Existirían seis palabras: a, b, aa, ab, ba, bb (21 + 22 = 2 + 4 = 6).
4.8. Después, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una, dos y tres letras, solamente.
Existirían catorce palabras:
a b
aa ab ba bb
aaa
aab aba baa
abb bab bba
bbb.
(21 + 22 + 23 = 2 + 4 + 8 = 14).
4.9. Posteriormente, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una, dos, tres y cuatro letras:
Existirían 30 palabras:
a b
aa ab ba bb
aaa
aab aba baa
abb bab bba
bbb
aaaa aaab aaba abaa baaa
aabb abab abba baab baba bbaa
abbb babb bbab bbba bbbb.
(21 + 22 + 23 + 24 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30).
4.10. Más adelante, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una, dos, tres, cuatro y cinco letras:
Existirían 62 palabras:
a b
aa ab ba bb
aaa
aab aba baa
abb bab bba
bbb
aaaa aaab aaba abaa baaa
aabb abab abba baab baba bbaa
abbb babb bbab bbba bbbb
aaaaa
aaaab aaaba aabaa abaaa
aaabb aabab aabba abaab ababa abbaa
aabbb ababb abbab abbba
abbbb
baaaa
baaab baaba babaa bbaaa
baabb babab babba bbaab bbaba bbbaa
babbb bbabb bbbab bbbba
bbbbb
(21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62).
4.11. Y así sucesivamente.
5. A continuación, imaginemos un abeceario (abecedario) con tres letras: a, b, c.
5.1. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra, solamente.
5.1.1. De acuerdo con los puntos 2.1. y 2.2., y en virtud de que en nuestro abeceario hay tres letras, elevemos la base 3 a la primera potencia: 31 = 3, que es el número de palabras que existirían: a, b, c.
5.1.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeceario (3) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (1 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B.
Entonces, como en este caso nuestro abeceario tiene tres letras (a, b, c), aplicamos la fórmula, B, y sustituimos: B = 3, que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en las palabras: a, b, c.
5.2. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de dos letras, solamente.
5.2.1. Según los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeceario hay tres letras, elevemos la base 3 a la segunda potencia (o al cuadrado): 32 = 9, que es el número de palabras que existirían: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.
5.2.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeceario (3) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (2 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B2-B.
Entonces, como en este caso nuestro abeceario tiene tres letras (a, b, c), aplicamos la fórmula, B2-B, y sustituimos: 32-3 = 9-3 = 6 (seis), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en cada una de las seis palabras: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
5.3. Ahora, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de tres letras, solamente.
5.3.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeceario hay tres letras, elevemos la base 3 a la tercera potencia (o al cubo): 33 = 3 × 3 × 3 = 27, que es el número de palabras que existirían:
Por orden abecedárico:
aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc,
(9 empezarían con “a”)
baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc,
(9 principiarían con “b”)
caa, cab, cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc
(9 comenzarían con “c”).
Otra manera de ordenar las mismas 27 palabras:
abc, acb, bac, bca, cab, cba, (sin repetir ninguna letra)
se repiten dos letras:
aab, aac, aba, aca, baa, caa, (palbrs. con 2 aes)
abb, bab, bba, bbc, bcb, cbb, (palbrs. con 2 bes)
acc, cac, cca, bcc, cbc, ccb, (palbrs. con 2 ces)
aaa, bbb, ccc (3 aes, 3 bes, 3 ces; se repiten tres letras).
5.3.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeceario (3) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (3 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B3-3B2+2B.
Entonces, como en este caso nuestro abeceario tiene tres letras (a, b, c), aplicamos la fórmula, B3-3B2+2B, y sustituimos: 33-(3)(32)+(2)(3) = 27-(3)(9)+6 = 27-27+6 = 6 (seis), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en cada una de las seis palabras: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
5.4. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cuatro letras, solamente.
5.4.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abeceario hay tres letras, elevemos la base 3 a la cuarta potencia: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, que es el número de palabras que existirían:
(27 empezarían con “a”):
aaaa, aaab, aaac,
aaba, aabb, aabc, (9 principiarían con “aa”)
aaca, aacb, aacc,
abaa, abab, abac,
abba, abbb, abbc, (9 comenzarían con “ab”)
abca, abcb, abcc,
acaa, acab, acac,
acba, acbb, acbc, (9 se iniciarían con “ac”)
acca, accb, accc.
(27 principiarían con “b”):
baaa, baab, baac,
baba, babb, babc, (9 comenzarían con “ba”)
baca, bacb, bacc,
bbaa, bbab, bbac,
bbba, bbbb, bbbc, (9 principiarían con “bb”)
bbca, bbcb, bbcc,
bcaa, bcab, bcac,
bcba, bcbb, bcbc, (9 se iniciarían con “bc”).
bcca, bccb, bccc.
(27 comenzarían con “c”)
caaa, caab, caac,
caba, cabb, cabc, (9 comenzarían con “ca”)
caca, cacb, cacc,
cbaa, cbab, cbac,
cbba, cbbb, cbbc, (9 principiarían con “cb”)
cbca, cbcb, cbcc,
ccaa, ccab, ccac,
ccba, ccbb, ccbc, (9 se iniciarían con “cc”)
ccca, cccb, cccc,
5.4.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abeceario (3) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (4 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B4-6B3+11B2-6B.
Entonces, como en este caso nuestro abeceario tiene tres letras (a, b, c), y queremos formar palabras con cuatro letras, con la restricción que no se repita ninguna letra en cada una de las palabras, aplicaremos una fórmula en la que el valor exponencial más alto de “p” sea de cuatro (4): B4-6B3+11B2-6B.
Sustituimos: 34-(6)(33)+(11)(32)-(6)(3) = 81-(6)(27)+(11)(9)-18 = 81-162+99-18 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en cada una de las palabras, y como queremos construir palabras de cuatro letras cada una utilizando un abeceario de tres letras, y además hemos introducido una restricción la cual exige que no se repita ninguna letra dentro de cada palabra, eso es imposible.
5.5. Ahora bien, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra y de dos letras, solamente.
Existirían doce palabras: a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.
(31 + 32 = 12).
5.6. Ahora, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra, de dos letras, y de tres letras, solamente.
Existirían 39 palabras:
a, b, c,
aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc,
aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc,
baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc,
caa, cab, cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc.
(31 + 32 + 33 = 39).
5.7. Ahora, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra, de dos letras, de tres letras, y de cuatro letras, solamente.
Existirían 120 palabras:
a, b, c,
aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc,
aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc,
baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc,
caa, cab, cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc,
aaaa, aaab, aaac,
aaba, aabb, aabc,
aaca, aacb, aacc,
abaa, abab, abac,
abba, abbb, abbc,
abca, abcb, abcc,
acaa, acab, acac,
acba, acbb, acbc,
acca, accb, accc.
baaa, baab, baac,
baba, babb, babc,
baca, bacb, bacc,
bbaa, bbab, bbac,
bbba, bbbb, bbbc,
bbca, bbcb, bbcc,
bcaa, bcab, bcac,
bcba, bcbb, bcbc,
bcca, bccb, bccc,
caaa, caab, caac,
caba, cabb, cabc,
caca, cacb, cacc,
cbaa, cbab, cbac,
cbba, cbbb, cbbc,
cbca, cbcb, cbcc,
ccaa, ccab, ccac,
ccba, ccbb, ccbc,
ccca, cccb, cccc.
(31 + 32 + 33 + 34 = 120).
5.8. Y así sucesivamente.
6. Ahora, imaginemos un abecedario con cuatro letras: a, b, c, d.
6.1. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra, solamente.
6.1.1. De acuerdo con los puntos 2.1. y 2.2., y en virtud de que en nuestro abecedario hay cuatro letras, elevemos la base 4 a la primera potencia: 41 = 4, que es el número de palabras que existirían: a, b, c, d.
6.1.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abecedario (4) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (1 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B.
Entonces, como en este caso nuestro abecedario tiene cuatro letras (a, b, c), aplicamos la fórmula, B, y sustituimos: B = 4, que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en las palabras: a, b, c, d.
6.2. Imaginemos que pudieran ser construidas palabras de dos letras, solamente.
6.2.1. Según los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abecedario hay cuatro letras, elevemos la base 4 a la segunda potencia (o al cuadrado): 42 = 16, que es el número de palabras que existirían: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd.
6.2.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abecedario (4) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (2 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B2-B.
Entonces, como en este caso nuestro abecedario tiene cuatro letras (a, b, c, d), aplicamos la fórmula, B2-B, y sustituimos: 42-4 = 16-4 = 12 (doce), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en cada una de las doce palabras: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.
Las palabras imposibles, en este caso, son: aa, bb, cc, dd.
6.3. Ahora, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de tres letras, solamente.
6.3.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abecedario hay cuatro letras, elevemos la base 4 a la tercera potencia (o al cubo): 43 = 4 × 4 × 4 = 64, que es el número de palabras que existirían:
Por orden abecedárico:
aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add.
(16 empezarían con “a”)
baa, bab, bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd.
(16 principiarían con “b”)
caa, cab, cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd.
(16 comenzarían con “c”).
daa, dab, dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd.
(16 se iniciarían con “d”).
6.3.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abecedario (4) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (3 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B3-3B2+2B.
Entonces, como en este caso nuestro abecedario tiene cuatro letras (a, b, c, d), aplicamos la fórmula, B3-3B2+2B, y sustituimos: 43-(3)(42)+(2)(4) = 64-(3)(16)+8 = 64-48+8 = 24 (veinticuatro), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en cada una de las 24 palabras:
abc, abd, acb, acd, adb, adc.
(6 empezarían con “a”)
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc.
(6 principiarían con “b”)
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb.
(6 comenzarían con “c”).
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
(6 se iniciarían con “d”).
6.4. Ahora, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cuatro letras, solamente.
6.4.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abecedario hay cuatro letras, elevemos la base 4 a la cuarta potencia 44 = 4 × 4 × 4 × 4 = 256, que es el número de palabras que existirían:
aaaa baaa caaa daaa
aaab baab caab daab
aaac baac caac daac
aaad baad caad daad
aaba baba caba daba
aabb babb cabb dabb
aabc babc cabc dabc
aabd babd cabd dabd
aaca baca caca daca
aacb bacb cacb dacb
aacc bacc cacc dacc
aacd bacd cacd dacd
aada bada cada dada
aadb badb cadb dadb
aadc badc cadc dadc
aadd badd cadd dadd
abaa bbaa cbaa dbaa
abab bbab cbab dbab
abac bbac cbac dbac
abad bbad cbad dbad
abba bbba cbba dbba
abbb bbbb cbbb dbbb
abbc bbbc cbbc dbbc
abbd bbbd cbbd dbbd
abca bbca cbca dbca
abcb bbcb cbcb dbcb
abcc bbcc cbcc dbcc
abcd bbcd cbcd dbcd
abda bbda cbda dbda
abdb bbdb cbdb dbdb
abdc bbdc cbdc dbdc
abdd bbdd cbdd dbdd
acaa bcaa ccaa dcaa
acab bcab ccab dcab
acac bcac ccac dcac
acad bcad ccad dcad
acba bcba ccba dcba
acbb bcbb ccbb dcbb
acbc bcbc ccbc dcbc
acbd bcbd ccbd dcbd
acca bcca ccca dcca
accb bccb cccb dccb
accc bccc cccc dccc
accd bccd cccd dccd
acda bcda ccda dcda
acdb bcdb ccdb dcdb
acdc bcdc ccdc dcdc
acdd bcdd ccdd dcdd
adaa bdaa cdaa ddaa
adab bdab cdab ddab
adac bdac cdac ddac
adad bdad cdad ddad
adba bdba cdba ddba
adbb bdbb cdbb ddbb
adbc bdbc cdbc ddbc
adbd bdbd cdbd ddbd
adca bdca cdca ddca
adcb bdcb cdcb ddcb
adcc bdcc cdcc ddcc
adcd bdcd cdcd ddcd
adda bdda cdda ddda
addb bddb cddb dddb
addc bddc cddc dddc
addd bddd cddd dddd.
6.4.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abecedario (4) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (4 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B4-6B3+11B2-6B.
Entonces, como en este caso nuestro abecedario tiene cuatro letras (a, b, c, d), aplicamos la fórmula, B4-6B3+11B2-6B, y sustituimos: 44-(6)(43)+(11)(42)-(6)(4) = 256-(6)(64)+(11)(16)-(6)(4) = 256-384+176-24 = 24 (veinticuatro), que es el número de palabras que tendremos de acuerdo con nuestra restricción, la cual exige que no se repita ninguna letra en cada una de las 24 palabras:
abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb,
bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca,
cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,
dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba.
6.5. Ahora, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de cinco letras, solamente.
6.5.1. De conformidad con los puntos 2.1. y 2.2., y como en nuestro abecedario hay cuatro letras, elevemos la base 4 a la quinta potencia 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024, que es el número de palabras que existirían:
aaaaa, aaaab, aaaac, aaaad…
… y 1,020 palabras más, en añadidura a las cuatro escritas como “muestra”...
6.5.2. Ahora, introduzcamos una restricción: que en todas y cada una de las palabras resultantes, no se pueda repetir ninguna letra.
En lugar de elevar el número de letras de nuestro abecedario (4) a una potencia igual al número de letras que podría tener cada palabra (5 en este ejemplo), en virtud de la restricción deberemos aplicar la fórmula: B5-10B4+35B3-50B2+24B.
Entonces, como en este caso nuestro abecedario tiene cuatro letras (a, b, c, d), aplicamos la fórmula:
B5-10B4+35B3-50B2+24B,
y sustituimos:
45-(10)(44)+(35)(43)-(50)(42)+(24)(4) =
1024-(10)(256)+(35)(64)-(50)(16)+(24)(4) =
1024-2560+2240-800+96 = 0 (cero), que es el número de palabras que tendremos, de acuerdo con nuestra restricción: cero o ninguna palabra, ya que si nuestro abecedario tiene solamente cuatro letras (a, b, c, d), y queremos construir palabras de cinco letras cada una, palabras en las que no se repita ninguna letra, eso es imposible.
6.5.3. Y así sucesivamente.
6.5.4. Enseguida, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una letra y de dos letras, solamente.
Existirían veinte palabras: a, b, c, d, aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd (41 + 42 = 4 + 16 = 20).
6.5.5. Después, imaginemos que pudieran ser construidas palabras de una, dos y tres letras, solamente.
Existirían 84 palabras:
a, b, c, d,
aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd,
aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add,
baa, bab, bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd,
caa, cab, cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd,
daa, dab, dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd.
(41 + 42 + 43 = 4 + 16 + 64 = 84).
6.5.6. Y así sucesivamente.
6.6. Para obtener numerosísimas combinaciones de letras, se podría usar la fórmula 26 ^ 26; es decir, 2626, esto es veintiséis elevado a la vigésima sexta potencia, operación que daría por resultado una cifra “espantosa”, balúmbica. Veintiséis es el número de letras del orden latino internacional, del abecedario inglés, etcétera.
O bien, se podría usar la fórmula 27 ^ 27; es decir, 2727, veintisiete elevado a la vigésima séptima potencia, lo cual daría una cifra aún más gigantesca, “inimaginable”. El abecedario español o castellano tiene 27 letras:
a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z.
[ En el blog algodatos.blogspot.com en los archivos de mayo y junio de 2013, usted podrá encontrar numerosos grupos de letras similares a los del punto 6.4.1. de este escrito gramático-algebraico, pero mucho más extensos; algunas entradas de junio de 2013 tienen 19,683 grupos cuadrilíteros (de cuatro letras). Al multiplicar esa cifra por 27 (el número de letras del abecedario castellano), da un total de 531,441 grupos de cuatro letras, desde la aaaa a la zzzz.
[ En mayo de 2013 hay 27 entradas, con 729 grupos trilíteros (de tres letras) cada entrada, lo que da un total de 19,683 grupos trilíteros. ]
Ahora imagine fórmulas similares a las anotadas en la parte final de 2.2.1.2., que empiecen con: B27-(equis número)B26+(equis número)B25… serían fórmulas larguísimas y bastante “horrorosas”.
Por otro lado, el abecedario hawaiano tiene solamente 12 letras: a, e, h, i, k, l, m, n, o, p, u, w.
Aquí, al aplicar 12 ^ 12 = 1212 = 8,916,100,448,256, o sea ocho billones novecientos dieciséis mil cien millones cuatrocientos cuarenta y ocho mil doscientos cincuenta y seis posibles grupos de letras o “palabras”, cantidad también algo “aterradora”, pero no tanto como las que se obtendrían al realizar las operaciones bosquejadas en párrafos anteriores.
7. Resumen.
7.1. Tabla 1.
Tabla 1.
NL
|
P1L
|
P1Ls
|
P2L
|
P2Ls
|
P3L
|
P3Ls
|
P4L
|
P4Ls
|
P5L
|
P5Ls
|
P6L
|
P6Ls
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2
|
2
|
2
|
4
|
2
|
8
|
0
|
16
|
0
|
32
|
0
|
64
|
0
|
3
|
3
|
3
|
9
|
6
|
27
|
6
|
81
|
0
|
243
|
0
|
729
|
0
|
4
|
4
|
4
|
16
|
12
|
64
|
24
|
256
|
24
|
1024
|
0
|
4096
|
0
|
5
|
5
|
5
|
25
|
20
|
125
|
60
|
625
|
120
|
3125
|
120
|
15625
|
0
|
6
|
6
|
6
|
36
|
30
|
216
|
120
|
1296
|
360
|
7776
|
720
|
46656
|
720
|
|
B
|
I
|
B^2
|
II
|
B^3
|
III
|
B^4
|
IV
|
B^5
|
V
|
B^6
|
VI
|
Nota: B^2 significa “B al cuadrado”; B^3, “B al cubo”; B^4, “B elevada a la cuarta potencia”, etcétera.
Con números romanos, se indica en la Tabla 1, cuáles fórmulas de las listadas abajo, se aplican en cuáles columnas.
I) B.
II) B2-B.
III) B3-3B2+2B.
IV) B4-6B3+11B2-6B.
V) B5-10B4+35B3-50B2+24B.
VI) B6-15B5+85B4-225B3+274B2-120B.
Significado de las siglas o abreviaturas de la primera línea o primera fila de la Tabla 1:
NL Número de letras de cada abecedario imaginario.
P1L Palabras de 1 letra.
P1Ls Palabras de 1 letra sin repetir ninguna letra.
P2L Palabras de 2 letras.
P2Ls Palabras de 2 letras sin repetir ninguna letra.
P3L Palabras de 3 letras.
P3Ls Palabras de 3 letras sin repetir ninguna letra.
P4L Palabras de 4 letras.
P4Ls Palabras de 4 letras sin repetir ninguna letra.
P5L Palabras de 5 letras.
P5Ls Palabras de 5 letras sin repetir ninguna letra.
P6L Palabras de 6 letras.
P6Ls Palabras de 6 letras sin repetir ninguna letra.
██████
Adenda, incorporada el sábado 21/06/2014:
I) B.
II) B2-B.
III) B3-3B2+2B.
IV) B4-6B3+11B2-6B.
V) B5-10B4+35B3-50B2+24B.
VI) B6-15B5+85B4-225B3+274B2-120B.
VII) B7-21B6+175B5-735B4+1624B3-1764B2+720B.
██████████ ██████████
hasta aquí, la adenda.
██████
7.2. Ahora, vamos a examinar algunos puntos de la Tabla 1:
7.2.1. En primer lugar, una "curiosidad": se pueden apreciar dos líneas “cuasi diagonales quebradas” paralelas desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha de la Tabla 1, marcadas o constituidas por los factoriales de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Veamos qué es un factorial:
La Real Academia Española (RAE) define así el factorial: “Producto que resulta de multiplicar un número entero positivo dado por todos los enteros inferiores a él hasta el uno.” Su símbolo es el mismo que el de cierre de exclamación o admiración: ! La RAE expone un ejemplo:
“El factorial de 4 es 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.”
Factorial de 1: 1! = 1 × 1 = 1.
Factorial de 2: 2! = 2 × 1 = 2.
Factorial de 3: 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
Factorial de 4: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Factorial de 5: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Factorial de 6: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
Entonces, podemos apreciar esas dos líneas paralelas cuasi diagonales quebradas, formadas, cada una, por los números 1, 2, 6, 24, 120 y 720.
Esos factoriales están siempre en columnas cuyo título termina en una “s” minúscula; es decir, en columnas en las que no se permite la repetición de letras.
7.2.2. En segundo lugar, algo obvio: en las columnas pares de la Tabla 1, los exponentes o potencias (definidas como “p” en el punto 2.2. de este texto) van aumentando de 1 potencia en 1 potencia, de izquierda a derecha: B (o bien: B^1), B^2, B^3, B^4, B^5, B^6.
7.2.3. En tercer lugar, y lo más importante: se observa que existe un patrón o pauta en cada fila o línea, de izquierda a derecha, que justifica, y simultáneamente va detrás de (sigue a)* la “prefórmula” B(B-1), esto es, “be” por “be-menos-uno”.
*Al parecer, si paso a paso cada elemento del patrón o pauta ha dado origen a la “prefórmula”, entonces se ha empleado el método inductivo (de lo particular a lo general)-sintético (de la parte al todo): se ha construido la fórmula teórica: se justifica.
Si la “prefórmula” es aplicada en la práctica y se puede emplear en cualquier caso igual (o muy similar), y además brinda siempre resultados iguales (o muy similares según la instancia respectiva), según se utiliza el método deductivo (de lo general a lo particular)-analítico (del todo a la parte): se sigue la fórmula.
Las primeras “prefórmulas” son sencillas, y dan lugar a “prefórmulas” y
fórmulas más complejas, como las desarrolladas en 2.2.1.2.
La explicación es la siguiente:
Si usted observa la tercera columna (una columna cuyo título termina en “s” minúscula, lo cual significa que no admite repetición de letras, y cuya parte inferior se encuentra el número romano I, que corresponde a la fórmula B, la más simple), y representa usted el valor de cada número con una letra B –esta “be” es la primera “prefórmula” o fórmula y es la más sencilla de todas, como se señala en el segundo párrafo de 2.2.1.1. (el símbolo B significa “base” según se indica en 2.1.)–, podrá apreciar que si aplica la “prefórmula” B(B-1), obtendrá ciertos resultados, que han sido escritos en la quinta columna de cada línea respectiva, en la Tabla 1.
Comprobemos:
–La “prefórmula” B(B-1) es igual a la fórmula B2-B.
Primera línea: 1(1-1) = (1)(0) = 0.
O bien: 1(1-1) = 1-1 = 0.
Segunda línea: 2(2-1) = (2)(1) = 2.
O bien: 2(2-1) = 4-2 = 2.
Tercera línea: 3(3-1) = (3)(2) = 6.
O bien: 3(3-1) = 9-3 = 6.
Cuarta línea: 4(4-1) = (4)(3) = 12.
O bien: 4(4-1) = 16-4 = 12.
Quinta línea: 5(5-1) = (5)(4) = 20.
O bien: 5(5-1) = 25-5 = 20.
Sexta línea: 6(6-1) = (6)(5) = 30.
O bien: 6(6-1) = 36-6 = 30.
Hasta aquí, tenemos la “prefórmula” B(B-1), que da origen a la fórmula B2-B.
7.2.4. Si consideramos nuestros resultados –producto de las operaciones algebraicas acabadas de efectuar en 7.2.3. al seguir la “prefórmula” B(B-1)–, valores que también han sido escritos en la quinta columna de la Tabla 1, a consecuencia de una captura de datos inducida (método inductivo-sintético), y tomamos esos datos o valores en lo individual, y enseguida multiplicamos cada uno por (B-2), obtendremos ciertos resultados, que han sido escritos en la séptima columna de la Tabla 1:
Primera línea: 0(B-2) = 0(1-2) = 0(-1) = 0.
Segunda línea: 2(B-2) = 2(2-2) = 2(0) = 0.
Tercera línea: 6(B-2) = 6(3-2) = 6(1) = 6.
Cuarta línea: 12(B-2) = 12(4-2) = 12(2) = 24.
Quinta línea: 20(B-2) = 20(5-2) = 20(3) = 60.
Sexta línea: 30(B-2) = 30(6-2) = 30(4) = 120.
Recuerde que los seis valores de la extrema izquierda en las operaciones anteriores, es decir, 0, 2, 6, 12, 20 y 30, son producto de la operación B(B-1), en 7.2.3. y se han escrito en la quinta columna de la Tabla 1, y por su parte los resultados de las operaciones de 7.2.4. (o sea, de este apartado) en la extrema derecha, es decir, 0, 0, 6, 24, 60 y 120, son producto de las operaciones B(B-1)(B-2) y han sido escritos en la séptima columna de la Tabla 1.
Esta “prefórmula” B(B-1)(B-2) se encuentra en 2.2.1.1 (véase ese apartado de este texto), y da lugar a la fórmula B3-3B2+2B), por lo que al haber empleado el método inductivo-sintético luego de un ejercicio empírico o experimental, podemos afirmar que las “prefórmulas” y fórmulas algebraicas de 2.2.1.1. surgieron del patrón observado en la Tabla 1, y citado en las primeras líneas de 7.2.3., aun cuando la Tabla 1 se haya colocado muchos párrafos debajo de 2.2.1.1., pues la intención ha sido llevar al lector primeramente por el camino empírico.
Hasta aquí, tenemos la “prefórmula” B(B-1)(B-2), que da lugar a la fórmula B3-3B2+2B.
7.2.5. Ahora, consideremos nuestros resultados de las operaciones de 7.2.4. –producto de las operaciones algebraicas acabadas de efectuar al seguir la “prefórmula” B(B-1)(B-2) valores que también han sido escritos en la séptima columna de la Tabla 1, a consecuencia de una captura de datos inducida (método inductivo-sintético), y tomemos esos datos o valores en lo individual, y enseguida multipliquemos cada uno por (B-3), para obtener ciertos resultados, que han sido escritos en la novena columna de la Tabla 1:
Primera línea: 0(B-3) = 0(1-3) = 0(-2) = 0.
Segunda línea: 0(B-3) = 0(2-3) = 0(-1) = 0.
Tercera línea: 6(B-3) = 6(3-3) = 6(0) = 0.
Cuarta línea: 24(B-3) = 24(4-3) = 24(1) = 24.
Quinta línea: 60(B-3) = 60(5-3) = 60(2) = 120.
Sexta línea: 120(B-3) = 120(6-3) = 120(3) = 360.
Hasta aquí, tenemos la “prefórmula” B(B-1)(B-2)(B-3), que da lugar a la fórmula algebraica B4-6B3+11B2-6B.
7.2.6. Ahora, de manera similar a lo efectuado en el apartado inmediato anterior, consideremos nuestros resultados de las operaciones de 7.2.5. –producto de las operaciones algebraicas acabadas de efectuar al seguir la “prefórmula” B(B-1)(B-2)(B-3), valores que han sido escritos en la novena columna de la Tabla 1, a consecuencia de una captura de datos inducida (método inductivo-sintético), y tomemos esos datos o valores en lo individual, y enseguida multipliquemos cada uno por (B-4), para obtener ciertos resultados, que también han sido escritos en la undécima columna de la Tabla 1:
Primera línea: 0(B-4) = 0(1-4) = 0(-3) = 0.
Segunda línea: 0(B-4) = 0(2-4) = 0(-2) = 0.
Tercera línea: 0(B-4) = 0(3-4) = 0(-1) = 0.
Cuarta línea: 24(B-4) = 24(4-4) = 24(0) = 0.
Quinta línea: 120(B-4) = 120(5-4) = 120(1) = 120.
Sexta línea: 360(B-4) = 360(6-4) = 360(2) = 720.
Hasta aquí, tenemos la “prefórmula” B(B-1)(B-2)(B-3)(B-4), que da lugar a la fórmula algebraica B5-10B4+35B3-50B2+24B.
7.2.7. Enseguida, y para acabar de ilustrar con ejemplos, de manera parecida a lo realizado en el apartado inmediato anterior, consideremos nuestros resultados de las operaciones de 7.2.6. –producto de las operaciones algebraicas acabadas de efectuar al seguir la “prefórmula” B(B-1)(B-2)(B-3)(B-4), valores que han sido escritos en la undécima columna de la Tabla 1, a consecuencia de una captura de datos inducida (método inductivo-sintético), y tomemos esos datos o valores en lo individual, y enseguida multipliquemos cada uno por (B-5), para obtener ciertos resultados, que han sido escritos en la decimotercera columna de la Tabla 1:
Primera línea: 0(B-5) = 0(1-5) = 0(-4) = 0.
Segunda línea: 0(B-5) = 0(2-5) = 0(-3) = 0.
Tercera línea: 0(B-5) = 0(3-5) = 0(-2) = 0.
Cuarta línea: 0(B-5) = 0(4-5) = 0(-1) = 0.
Quinta línea: 120(B-5) = 120(5-5) = 120(0) = 0.
Sexta línea: 720(B-5) = 720(6-5) = 720(1) = 720.
Hasta aquí, tenemos la “prefórmula” B(B-1)(B-2)(B-3)(B-4)(B-5), que da lugar a una larga fórmula cuyo valor exponencial más alto es 6, y que no será desarrollada en este texto.
Los títulos de las columnas nones, a partir de la tercera columna y hacia la derecha, en la TABLA 1, terminan en una letra “s” minúscula (“sin repetición”), lo cual significa que las palabras resultantes, construidas a partir de las fórmulas correspondientes, no admiten repetición de ninguna letra, por lo cual las fórmulas de las columnas nones son mucho más complejas que las de las columnas pares.
7.3. Tabla 1, copia.
A continuación, se copia la Tabla 1, con el fin de facilitar alguna posible comparación con la Tabla 2, por si la Tabla 1 “original” hubiere quedado muy arriba, muy lejos de la Tabla 2, en el texto:
Tabla 1, copia.
NL
|
P1L
|
P1Ls
|
P2L
|
P2Ls
|
P3L
|
P3Ls
|
P4L
|
P4Ls
|
P5L
|
P5Ls
|
P6L
|
P6Ls
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2
|
2
|
2
|
4
|
2
|
8
|
0
|
16
|
0
|
32
|
0
|
64
|
0
|
3
|
3
|
3
|
9
|
6
|
27
|
6
|
81
|
0
|
243
|
0
|
729
|
0
|
4
|
4
|
4
|
16
|
12
|
64
|
24
|
256
|
24
|
1024
|
0
|
4096
|
0
|
5
|
5
|
5
|
25
|
20
|
125
|
60
|
625
|
120
|
3125
|
120
|
15625
|
0
|
6
|
6
|
6
|
36
|
30
|
216
|
120
|
1296
|
360
|
7776
|
720
|
46656
|
720
|
|
B
|
I
|
B^2
|
II
|
B^3
|
III
|
B^4
|
IV
|
B^5
|
V
|
B^6
|
VI
|
Nota: B^2 significa “B al cuadrado”; B^3, “B al cubo”; B^4, “B elevada a la cuarta potencia”, etcétera.
Con números romanos, se indica en la Tabla 1, cuáles fórmulas de las listadas abajo, se aplican en cuáles columnas.
I) B.
II) B2-B.
III) B3-3B2+2B.
IV) B4-6B3+11B2-6B.
V) B5-10B4+35B3-50B2+24B.
VI) B6-15B5+85B4-225B3+274B2-120B.
Significado de las siglas o abreviaturas de la primera línea o primera fila de la Tabla 1:
NL Número de letras de cada abecedario imaginario.
P1L Palabras de 1 letra.
P1Ls Palabras de 1 letra sin repetir ninguna letra.
P2L Palabras de 2 letras.
P2Ls Palabras de 2 letras sin repetir ninguna letra.
P3L Palabras de 3 letras.
P3Ls Palabras de 3 letras sin repetir ninguna letra.
P4L Palabras de 4 letras.
P4Ls Palabras de 4 letras sin repetir ninguna letra.
P5L Palabras de 5 letras.
P5Ls Palabras de 5 letras sin repetir ninguna letra.
P6L Palabras de 6 letras.
P6Ls Palabras de 6 letras sin repetir ninguna letra.
7.4. Tabla 2.
Enseguida, se muestra una Tabla 2, muy parecida a la Tabla 1, solamente que en las columnas cuarta, sexta, octava, décima y duodécima los números han sido expresados por medio de una base (B) elevada a la potencia correspondiente.
Tabla 2.
NL
|
P1L
|
P1Ls
|
P2L
|
P2Ls
|
P3L
|
P3Ls
|
P4L
|
P4Ls
|
P5L
|
P5Ls
|
P6L
|
P6Ls
|
1
|
1
|
1
|
1^2
|
0
|
1^3
|
0
|
1^4
|
0
|
1^5
|
0
|
1^6
|
0
|
2
|
2
|
2
|
2^2
|
2
|
2^3
|
0
|
2^4
|
0
|
2^5
|
0
|
2^6
|
0
|
3
|
3
|
3
|
3^2
|
6
|
3^3
|
6
|
3^4
|
0
|
3^5
|
0
|
3^6
|
0
|
4
|
4
|
4
|
4^2
|
12
|
4^3
|
24
|
4^4
|
24
|
4^5
|
0
|
4^6
|
0
|
5
|
5
|
5
|
5^2
|
20
|
5^3
|
60
|
5^4
|
120
|
5^5
|
120
|
5^6
|
0
|
6
|
6
|
6
|
6^2
|
30
|
6^3
|
120
|
6^4
|
360
|
6^5
|
720
|
6^6
|
720
|
|
B
|
I
|
B^2
|
II
|
B^3
|
III
|
B^4
|
IV
|
B^5
|
V
|
B^6
|
VI
|
Nota: B^2 significa “B al cuadrado”; B^3, “B al cubo”; B^4, “B elevada a la cuarta potencia”, etcétera.
Con números romanos, se indica en la Tabla 2, cuáles fórmulas de las listadas abajo, se aplican en cuáles columnas.
I) B.
II) B2-B.
III) B3-3B2+2B.
IV) B4-6B3+11B2-6B.
V) B5-10B4+35B3-50B2+24B.
VI) B6-15B5+85B4-225B3+274B2-120B.
Significado de las siglas o abreviaturas de la primera línea o primera fila de la Tabla 1:
NL Número de letras de cada abecedario imaginario.
P1L Palabras de 1 letra.
P1Ls Palabras de 1 letra sin repetir ninguna letra.
P2L Palabras de 2 letras.
P2Ls Palabras de 2 letras sin repetir ninguna letra.
P3L Palabras de 3 letras.
P3Ls Palabras de 3 letras sin repetir ninguna letra.
P4L Palabras de 4 letras.
P4Ls Palabras de 4 letras sin repetir ninguna letra.
P5L Palabras de 5 letras.
P5Ls Palabras de 5 letras sin repetir ninguna letra.
P6L Palabras de 6 letras.
P6Ls Palabras de 6 letras sin repetir ninguna letra.
8. Teoría.
De conformidad con lo expresado en 2.1. y 2.2., se formulan los siguientes enunciados teóricos:
8.1. Dado un abecedario integrado por B número de letras, la cantidad máxima de palabras de p letras que se pueden construir se obtiene mediante la aplicación de la fórmula: Bp.
(El símbolo B representa el número de letras de un determinado abecedario, en tanto que el símbolo p representa la cantidad de letras que tendrá cada palabra que se podrá construir.)
El autor pretende que esta teoría, aunque obvia para casi cualquier adolescente versado en álgebra y en gramática, sea conocida como: Teoría de abecedarios y número máximo de palabras.
No obstante, dicho nombre es una proposición, un esbozo, apenas. En lo futuro alguien puede sugerir, proponer e incluso imponer un nombre mejor.
En el punto 7.1., en la Tabla 1 (en 7.3. hay una copia), el número de palabras que se podrá construir mediante la aplicación de la fórmula anterior, se encuentra en las columnas segunda, cuarta, sexta, octava, décima y duodécima, según el número de letras de cada abecedario, y el número de letras que podrá tener cada palabra.
8.2. Dado un abecedario integrado por B número de letras, la cantidad máxima de palabras de p letras que se pueden construir sin que se repita ninguna letra dentro de cada palabra, se obtiene mediante la aplicación de las fórmulas siguientes:
1) B, cuando p = 1.
2) B(B-1) → B2-B, cuando p = 2.
3) B(B-1)(B-2) → B3-3B2+2B, cuando p = 3.
4) B(B-1)(B-2)(B-3) → B4-6B3+11B2-6B, cuando p = 4.
5) B(B-1)(B-2)(B-3)(B-4) → B5-10B4+35B3-50B2+24B, cuando p = 5.
6) B(B-1)(B-2)(B-3)(B-4)(B-5) →
B6-15B5+85B4-225B3+274B2-120B, cuando p = 6.
7) B(B-1)(B-2)(B-3)(B-4)(B-5)(B-6) →
B7-21B6+175B5-735B4+1624B3-1764B2+720B, cuando
p = 7,
etcétera.
(El símbolo B representa el número de letras de un determinado abecedario, en tanto que el símbolo p representa la cantidad de letras que tendrá cada palabra que se podrá construir.)
El autor pretende que esta teoría sea conocida como: Teoría de abecedarios y número máximo de palabras con la restricción de no repetir ninguna letra en las palabras.
No obstante, dicho nombre es una proposición, un esbozo, apenas. En lo futuro alguien puede sugerir, proponer e incluso imponer un nombre mejor.
En el punto 7.1., en la Tabla 1 (en 7.3. hay una copia), el número de palabras que se podrá construir mediante la aplicación de las fórmulas anteriores, se encuentra en las columnas tercera, quinta, séptima, novena, undécima y decimotercera, según el número de letras de cada abecedario, y el número de letras que podrá tener cada palabra, con sus respectivas restricciones.
9. Otros posibles procedimientos.
Asimismo, además de emplear fórmulas algebraicas de los tipos arriba expuestos, es decir:
1) B.
2) B2-B.
3) B3-3B2+2B.
4) B4-6B3+11B2-6B.
5) B5-10B4+35B3-50B2+24B
6) B6-15B5+85B4-225B3+274B2-120B.
7) B7-21B6+175B5-735B4+1624B3-1764B2+720B...
... etcétera, pueden aplicarse otros procedimientos o formas para buscar respuestas, ya sea mediante vectores, o gráficos con coordenadas cartesianas (inventadas por el padre del escepticismo francés, le père du scepticisme française, el filósofo y matemático René Descartes, 1596-1650), o logaritmos naturales o neperianos* (cuya base es el número irracional e,** es decir 2.718281828459…), o logaritmos decimales (cuya base es el número 10), o cálculo infinitesimal, inventado por esos portentosos científicos el matemático, lógico y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) y el físico y matemático inglés Sir Isaac Newton (1643-1727).
* Debe notarse que el fraile franciscano y matemático italiano fray Luca Pacioli (1445-1517), analítico sistemático del método contable llamado partida doble y precursor del cálculo de probabilidades, ya empleaba aproximaciones logarítmicas un siglo antes que John Napier (matemático escocés, 1550-1617, presbiteriano, furioso antipapista), genial definidor de los logaritmos naturales o neperianos.
** Se representa con el símbolo e, en honor de Leonhard Euler (1707-1783), brillante matemático suizo, cuyo apellido comienza con “e”.
Veamos superficialmente el procedimiento del cálculo infinitesimal en su rama llamada cálculo diferencial.
(El filósofo, lógico y matemático alemán Gottfried Leibniz [1646-1716] empezó a trabajar en el cálculo en 1674, y para 1677 ya tenía un sistema coherente, pero no lo publicó sino hasta 1684. Según los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 sucedió un acontecimiento fundamental: empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función: y = ƒ(x).
(El físico, inventor y matemático inglés Sir Isaac Newton [1643-1727] también efectuó importantes trabajos de cálculo y funciones.)
y = ƒ(x)
y (ye) está en función de x (equis),
y (ye) es función de x (equis),
y (ye) es la función.
Arbitrariamente sustituiremos ƒ(x) por la letra B (be) y/o por algunas fórmulas. Esto es permitido, ya que la y (ye), la x (equis), la B (be), cualesquiera otras letras, y algunas fórmulas, en este caso son utilizadas simplemente como símbolos de variables.
y = ƒ(x) = B.
B (be) es la variable independiente, en tanto que y (ye) es la variable dependiente: depende del valor que le asignemos a B (be).
1) y = ƒ(x) = B
P1L
B y = B
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
2) y = ƒ(x) = B^2
P2L
B y = B^2
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400
3) y = ƒ(x) = B^3
P3L
B y = B^3
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216
7 343
8 512
9 729
10 1000
11 1331
12 1728
13 2197
14 2744
15 3375
16 4096
17 4913
18 5832
19 6859
20 8000
4) y = ƒ(x) = B^4
P4L
B y = B^4
1 1
2 16
3 81
4 256
5 625
6 1296
7 2401
8 4096
9 6561
10 10000
11 14641
12 20736
13 28561
14 38416
15 50625
16 65536
17 83521
18 104976
19 130321
20 160000
5) y = ƒ(x) = B^5
P5L
B y = B^5
1 1
2 32
3 243
4 1024
5 3125
6 7776
7 16807
8 32768
9 59049
10 100000
11 161051
12 248832
13 371293
14 537824
15 759375
16 1048576
17 1419857
18 1889568
19 2476099
20 3200000
6) y = ƒ(x) = B^6
P6L
B y = B^6
1 1
2 64
3 729
4 4096
5 15625
6 46656
7 117649
8 262144
9 531441
10 1000000
11 1771561
12 2985984
13 4826809
14 7529536
15 11390625
16 16777216
17 24137569
18 34012224
19 47045881
20 64000000
7) y = ƒ(x) = B^7
P7L
B y = B^7
1 1
2 128
3 2187
4 16384
5 78125
6 279936
7 823543
8 2097152
9 4782969
10 10000000
11 19487171
12 35831808
13 62748517
14 105413504
15 170859375
16 268435456
17 410338673
18 612220032
19 893871739
20 1280000000
█████████████
1) y = ƒ(x) = B
P1Ls
B y = B
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
2) y = ƒ(x) = B^2-B
P2Ls
B y = B^2-B
1 0
2 2
3 6
4 12
5 20
6 30
7 42
8 56
9 72
10 90
11 110
12 132
13 156
14 182
15 210
16 240
17 272
18 306
19 342
20 380
3) y = ƒ(x) = B^3-3B^2+2B
P3Ls
B y = B^3-3B^2+2B
1 0
2 0
3 6
4 24
5 60
6 120
7 210
8 336
9 504
10 720
11 990
12 1320
13 1716
14 2184
15 2730
16 3360
17 4080
18 4896
19 5814
20 6840
4) y = ƒ(x) = B^4-6B^3+11B^2-6B
P4Ls
B y = B^4-6B^3+11B^2-6B
1 0
2 0
3 0
4 24
5 120
6 360
7 840
8 1680
9 3024
10 5040
11 7920
12 11880
13 17160
14 24024
15 32760
16 43680
17 57120
18 73440
19 93024
20 116280
5) y = ƒ(x) = B^5-10B^4+35B^3-50B^2+24B
P5Ls
B y = B^5-10B^4+35B^3-50B^2+24B
1 0
2 0
3 0
4 0
5 120
6 720
7 2520
8 6720
9 15120
10 30240
11 55440
12 95040
13 154440
14 240240
15 360360
16 524160
17 742560
18 1028160
19 1395360
20 1860480
6) y = ƒ(x) = B^6-15B^5+85B^4-225B^3+274B^2-120B
P6Ls
B y = B^6-15B^5+85B^4-225B^3+274B^2-120B
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 720
7 5040
8 20160
9 60480
10 151200
11 332640
12 665280
13 1235520
14 2162160
15 3603600
16 5765760
17 8910720
18 13366080
19 19535040
20 27907200
7) y = ƒ(x) = B^7-21B^6+175B^5-735B^4+1624B^3-1764B^2+720B
P7Ls
B y = B^7-21B^6+175B^5-735B^4+1624B^3-1764B^2+720B
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 5040
8 40320
9 181440
10 604800
11 1663200
12 3991680
13 8648640
14 17297280
15 32432400
16 57657600
17 98017920
18 160392960
19 253955520
20 390700800
10. Cuatro artificios inútiles.
10.1. La esfera de caracteres.
Un archivo informático, no construido todavía, no creado aún, que simule una gigantesca esfera hueca (virtual, por supuesto), con numerosos caracteres (letras, números, símbolos, signos, espacios en blanco, etcétera) impresos en su cara interior –de cada carácter existen al menos dos ejemplares; de los más usados hay más ejemplares, unos 50, por ejemplo, para la letra e, en cambio, de la x hay cuatro ejemplares, y dentro de la esfera un mosquito virtual que vuela a la velocidad de la luz para detenerse en numerosos símbolos (por un milisegundo, microsegundo o nanosegundo en cada uno) y formar palabras, textos, libros, tratados, enciclopedias, etcétera.
Tendría que implementarse un algoritmo para la creación de palabras, una tras otra, y un repositorio en el que se guardarían las palabras, párrafos y páginas creadas, y también, tal vez, un algoritmo que imposibilite la creación de grupos de caracteres como por ejemplo: xaçh^vyñwh*tl~añezdd8ff, que en ningún idioma tendría sentido. O tal vez tendría sentido en el llamado lenguaje-máquina, concepto que utilizan ingenieros en informática y programadores.
El mosquito podría escribir una palabra en croata, luego una en alemán, otra en español, una cuarta palabra en inglés, etcétera, por lo que quizá tendría que crearse un algoritmo más para clasificar las palabras por idioma.
10.2. La circunferencia virtual de caracteres.
Imagine una circunferencia, atravesada por dos líneas rectas diametrales, una horizontal, y una segunda recta vertical, perpendicular a la primera.
Dicha circunferencia tendría 3,600 (tres mil seiscientos) grados (estaría dividida en 3,600 partes), y en cada grado habría un carácter (letra, número, símbolo o signo).
Por ejemplo, en la posición de 0 grados que sería la del extremo derecho de la línea recta horizontal, podría estar el valor para “espacio en blanco”; en el grado 1, podría estar el número cero; en el grado 2 podría estar el número 1; en el grado 3, el número 2; en el grado 10, el número 9; en el grado 11, la letra a minúscula; en el grado 12, la letra b minúscula, etcétera.
La posición de 0 grados sería la del extremo derecho; la del grado 1, estaría una división arriba de la posición del 0 (cero); la del grado 2, dos divisiones arriba de la posición del 0 (cero) –en dirección contraria al del movimiento de las manecillas del reloj.
Cada carácter estaría impreso o grabado en la circunferencia o inmediatamente fuera de ella, por lo menos dos veces; los caracteres que representan los sonidos más empleados en el lenguaje (como las vocales o sonantes e, a, i, o, u, y ciertas consonantes) tendrían más representatividad (estarían repetidos más veces en la circunferencia, colocados no juntos, sino esparcidos).
Una aguja central con su eje giratorio virtual en el centro del círculo delimitado por la circunferencia, podría moverse en cualquier sentido (en el sentido en el que giran las manecillas del reloj y en el sentido contrario al de las manecillas), en busca del carácter más cercano que le convenga.
La aguja se detendría por un milisegundo, un microsegundo o un nanosegundo ante cada carácter “elegido”, para marcarlo (seleccionarlo), y una “impresora virtual” iría “imprimiendo” (escribiendo) en una página o repositorio virtual, cada carácter para formar palabras, frases, oraciones, párrafos, páginas, etcétera.
De forma similar al punto 10.1., habría necesidad de que un programador o un ingeniero en informática, junto con un lingüista o un filólogo, creasen un programa adecuado, con algoritmos, restricciones, etcétera.
10.3. El candado de caracteres.
Un candado de combinación, similar a los que funcionan para asegurar el cierre de algunos portafolios (llamados en inglés suitcase combination locks, candados de combinación para portafolios), que por lo general tienen tres ruedas giratorias con diez divisiones cada una, numeradas del 0 al 9; cada rueda tiene una muesca en cierta posición. Cuando coinciden las tres muescas, el portafolios puede ser abierto. El dueño del portafolios puede reprogramar la combinación abridora, para que sea la que él quiera; por ejemplo, 842.
En nuestro caso, nuestras ruedas virtuales no tendrían “muescas”, ni tendrían diez divisiones, sino 1,024 (mil veinticuatro divisiones), por ejemplo; en cada división habría un carácter impreso; y no serían tres ruedas solamente, sino algo así como 35.
Cada carácter (letra, número, símbolo, signo, espacio en blanco, etcétera) estaría grabado o impreso dos veces por lo menos en cada rueda, y los caracteres más empleados estarían representados (impresos o grabados) más veces.
Ninguna rueda tendría impresos o grabados los caracteres en el mismo orden. Habría 35 maneras de acomodar los caracteres, una en cada rueda.
Cada milisegundo, microsegundo o nanosegundo, las ruedas giratorias se detendrían (girarían a distintas velocidades y en sentidos opuestos alternadamente, o todas girarían a la misma velocidad, pero en sentidos opuestos alternadamente, y de acuerdo con un algoritmo especial), y un “ojo lector” o un “detector de posición” grabaría o “imprimiría” (escribiría) en una página virtual o en un espacio virtual las palabras o grupos de letras que se irían formando.
Como en los casos anteriores, es necesaria la creación de uno o más algoritmos para hacer funcionar esta máquina virtual.
10.4. “ADN recombinante del lenguaje”.
La estructura del ácido desoxirribonucleico (ADN) fue determinada y definida en 1953 por el biólogo molecular, biofísico y neurocientífico inglés Francis Crick (1916-2004), el biólogo molecular estadounidense James D. Watson (1928- ), y el físico y biólogo molecular británico nacido en Nueva Zelanda, Maurice Wilkins (1916-2004).
Estructura básica del ADN, ácido desoxirribonucleico: es una doble hélice en la que abundan moléculas de cuatro bases nitrogenadas, enlazadas por pares:
adenina=timina A=T, y guanina≡citosina G≡C.
[En el ARN, ácido ribonucleico, no hay timina; en su lugar se encuentra el uracilo: adenina=uracilo A=U, y guanina≡citosina G≡C.]
Hay quienes afirman que los tres ganadores del Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1962, Crick, Watson y Wilkins, ningunearon a la biofísica y cristalógrafa de rayos X británica Rosalind Franklin (1920-1958), y señalan también que merecía mayor crédito científico, ya que ella fue la que tomó las primeras imágenes de difracción por rayos X de la estructura de la doble hélice del ADN, quien primero las interpretó, y quien mostró que la estructura de sostén, de fosfato, debía estar por fuera, y las bases nitrogenadas por dentro.
Aunque, como los premios Nobel no se entregan de manera póstuma, los familiares de ella no podrían haberlo recibido en su nombre en 1962.
Bien, por ahora basta de historia de la química, bioquímica, biología, medicina, fisiología, etcétera.
En la quinta columna de la Tabla 1, mostrada en el apartado 7.1. de este escrito, aparece la fórmula II (“dos romano”), que es: B2-B, y en la línea correspondiente a un abecedario de cuatro letras para formar palabras de dos letras con la restricción de 6.2.2. en el sentido de que no se repita ninguna letra en cada palabra formada, el resultado de aplicar la fórmula fue: B2-B = 16-4 = 12, o sea que de 16 posibles combinaciones de dos letras se deben descartar cuatro, para que queden doce.
Las doce combinaciones que cumplen con la restricción son:
ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.
Las cuatro combinaciones descartadas (porque repiten una letra) son:
aa, bb, cc, dd.
Pero aquí, en este apartado en el que estamos ahora, el 10.4., tenemos no un abecedario de cuatro letras, sino un acegetario, formado por cuatro letras: a, c, g, t, que son las iniciales de cuatro bases nitrogenadas: adenina, citosina, guanina y timina.
Además aquí la restricción es más amplia que en 6.2.2.: aparte de que no se repita ninguna letra (es decir, una base nitrogenada no puede unirse a otra igual a ella, por lo que son imposibles las combinaciones aa, cc, gg, tt), cada base nitrogenada puede unirse únicamente a una sola de las otras tres bases, para formar pares de bases que se producen siempre entre adenina y timina: at (o timina y adenina: ta) por un lado, y citosina y guanina: cg (o guanina y cistosina: gc) por el otro.
(El autor va a repetir aquí los apartados 2.1. y 2.2. de este escrito:
(2.1. En este ejercicio gramático-algebraico, el número de letras existentes en cada abecedario imaginario que iremos creando constituirá una base matemática (la cual será representada por el símbolo B).
(2.2. La cantidad de letras que tendrán las palabras que podremos construir, constituirá el exponente (representado por el símbolo p, escrito como superíndice o carácter volado) indicador de la potencia a la que se ha de elevar la base citada en 2.1. O sea: Bp.)
Tenemos que aquí, en este caso 10.4., que la base B vale 4 (el número de letras de nuestro abecedario, que en este caso es un acegetario, que cumple también con la condición de 2.1.), y el exponente p vale 2, ya que formaremos palabras de dos letras cada una.
Entonces, en vista de la restricción más amplia de este caso aplicaremos una “prefórmula” distinta: B(B-3), que da lugar a una fórmula también distinta de todas las anteriores: B2-3B.
La “prefórmula” cumple con la condición de 2.1. (en este caso, B vale 4, que es el número de letras que tiene nuestro acegetario).
Además, la “prefórmula” cumple con la amplia restricción de que cada una de las cuatro letras (a, c, g, t) puede unirse solamente a una de las otras tres, lo cual puede ser expresado algebraicamente de la siguiente manera: B-3 (operación que da igual a 1, en este caso, y que cumple con la amplia restricción de que cada base nitrogenada puede unirse únicamente a una sola de las otras tres, y además la base nitrogenada a la que puede unirse no debe ser ella misma), y si la “prefórmula” cumple esas condiciones, también la fórmula las cumple.
Finalmente, la fórmula B2-3B, cumple con la condición establecida en 2.2.: en este caso, el valor exponencial más alto de p (potencia) en la fórmula es 2: B2-3B.
Al aplicar la fórmula y sustituir, tenemos: B2-3B = 16-12 = 4, que es el número de combinaciones que podremos tener, y son: at, ta, cg, gc.
Las doce combinaciones descartadas son: aa, cc, gg, tt, ac, ag, ca, ct, ga, gt, tc, tg.
Ahora bien, si aquí el acegetario tiene cuatro letras, el superabecedario podría tener 256 o 512 o 1,024 caracteres.
Es decir, aquí la arquitectura o la estructuración de combinaciones para representar letras sería distinta a la de los puntos 3, 4, 5 y 6 de este escrito. Advierta que en este punto 10.4. se está tratando uno de los cuatro artificios inútiles, y hay una libertad más amplia.
Para formar las cadenas de pares de bases nitrogenadas se pueden hacer combinaciones aleatorias casi ad infinitum (recuerde: solamente son posibles: at, ta, cg, gc), y arbitrariamente se han seccionado unas cadenas larguísimas de billones de pares de bases nitrogenadas, para formar cadenas de ocho pares cada una.
Cada una de estas cadenas formadas por ocho pares o 16 bases nitrogenadas, representan un carácter de nuestro superabecedario de, digamos, 1,024 caracteres.
Por ejemplo, la cadena:
at
ta
at
ta
cg
gc
cg
gc
representaría la letra a.
La cadena:
at
ta
at
cg
ta
gc
cg
gc
representaría la letra b.
La cadena:
at
ta
cg
at
ta
gc
cg
gc
representaría la letra c, etcétera.
Luego de que un programa de cómputo (que incluya ciertos algoritmos, condiciones y restricciones) seccione las cadenas, para formar minicadenas de ocho pares, estas últimas se pueden ordenar de manera que puedan formarse letras que den lugar a palabras “reales” o “razonablemente posibles de existir” (luego de que se hayan tirado a la basura virtual las minicadenas de ocho pares que estorben o que sean inexistentes en nuestra gama de 1,024 minicadenas de ocho pares de bases nitrogenadas cada minicadena) en cualesquiera idiomas que empleen el abecedario latino, se puede considerar una copia de la cadena original de billones de pares.
Luego de haber formado un número considerable de palabras reales, vayamos a ver la copia de nuestra cadena original.
En esta copia, la columna de la izquierda se mueve, digamos, “n” número de lugares hacia arriba y la columna de la derecha o bien permanece inmóvil, o se mueve “n” u “o” número de lugares hacia abajo (según los algoritmos) para formar billones de nuevas parejas; las parejas imposibles (las doce combinaciones descartadas párrafos arriba) se tiran a la basura virtual, y las parejas posibles (at, ta, cg, gc) “sobrevivientes” se reagrupan en secciones de ocho parejas, para formar nuevos grupos que representarán distintas letras y caracteres, y formarán palabras nuevas.
Es probable que luego de la realineación de secuencias, el programa (software) mande a la basura virtual más de 75 por ciento de las nuevas parejas de bases (por no cumplir con la amplia restricción), por lo que cabría la posibilidad de considerar la introducción de un algoritmo adicional, o de un “subalgoritmo” o “intraalgoritmo” dentro del algoritmo principal, que forme grupos de ocho parejas cada uno, a partir de parejas válidas (at, ta, cg, gc) que no necesariamente estén contiguas, sino a varias o a muchas líneas de distancia entre sí, pero conservando el orden que traen desde la secuencia original.
Puede haber billones de billones de posibilidades, y se duda que las computadoras más grandes de la actualidad puedan tener capacidad de manejar tantos reacomodos, como sucede con las computadoras y los programas informáticos que pretenden simular las recombinaciones del ADN verdadero, el real.
La supercomputadora Cray TX5 vale alrededor de un millón de dólares, más unos 50 mil dólares adicionales para tener un lugar acondicionado, sin polvo y con temperaturas bajas, donde colocarla. Expertos afirman que este es un precio inflado, que debería costar la mitad, pero como Cray tiene poca competencia… Mucha “caja” o mucho continente y algo menos de contenido (hardware realmente útil).
10.5. En la Wikipedia, usted puede consultar el Teorema del mono infinito:
11. Traductores binarios.
11.1. Numeración binaria.
Acerca de los cuatro artificios inútiles esbozados de 10.1. a 10.4., el autor ha de admitir que ya en 1679, o sea hace 334 años, el matemático y filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) inventó o definió con precisión la numeración binaria.
Hay expresiones binarias para números desde hace 334 años, por lo menos; y hay valores binarios para letras desde hace decenios, al parecer, desde 1932.
Por ejemplo en la Wikipedia en español, usted puede buscar el artículo llamado Código binario, y en esa entrada o artículo, aparece un recuadro, a la derecha, en el que han escrito en código binario la palabra: Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_binario
La base de la numeración decimal (la más usada por los seres humanos que, además, tenemos diez dedos en las manos) es el número 10, o sea que el valor de los dígitos del 0 al 9 dentro de un número se multiplica por diez a medida que avanzamos DE DERECHA A IZQUIERDA en un número dado.
Por ejemplo en el número 10, el digito “uno” vale diez, porque está en la segunda posición de derecha a izquierda, en la “columna” o posición de las decenas.
En cambio en el numero 11, el dígito de la derecha está en la posición de las unidades, este “uno” sí vale uno; el “uno” de la izquierda es igual al de la derecha por su grafía (se escribe de manera idéntica), pero no es igual por su posición, ni vale igual por su posición (por la posición que ocupa dentro del número 11) que el de la derecha, sino que el de la izquierda vale diez, ya que está en la posición de las decenas.
El “uno” de la derecha vale uno; el “uno” de la izquierda vale diez, y uno más diez igual a once.
En el número 101, el dígito “uno” de la extrema derecha vale uno, ya que está en la posición de las unidades; en tanto que el dígito “uno” de la extrema izquierda vale cien, ya que está en la posición de las centenas.
Uno más cien igual a ciento uno.
O bien: uno más cero* más cien igual a ciento uno.
* Este valor cero es por el “cero” que está en la posición de las decenas, en medio.
En el número 111, el dígito “uno” de la extrema derecha vale uno, ya que está en la posición de las unidades; el dígito “uno” del centro vale diez, ya que está en la posición de las decenas; y el dígito “uno” de la extrema izquierda vale cien, ya que está en la posición de las centenas.
Uno más diez más cien igual a ciento once.
La numeración decimal utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
La numeración binaria es un sistema que utiliza exclusivamente dos cifras: 0, 1.
En las computadoras (en España les llaman ordenadores) se usan los bits (bit es un acrónimo que procede de las palabras inglesas binary digit (dígito binario).
Bit se pronuncia aproximadamente: bit.
Ocho bits forman un byte (se pronuncia báit).
Un bit almacena ya sea un 0 o un 1.
La numeración binaria es un sistema que utiliza exclusivamente dos cifras: 0, 1.
El “cero” se interpreta como ausencia de señal eléctrica (“off”, en inglés, o sea apagado, quitado, ausente), en tanto que el “uno” significa presencia de señal eléctrica (“on”, en inglés, o sea encendido, existente, presente).
Los valores de cada posición DE DERECHA A IZQUIERDA van aumentando exponencialmente. La base de esta numeración binaria NO es el número “diez” (10), sino el número “dos” (2), ya que es binaria (el prefino latino bi- puede significar “dos”).
El número binario 00000000 expresado en sistema decimal es un 0 (cero); el número binario 00000001 expresado sistema decimal es un 1 (uno).
Hemos afirmado arriba que la base de la numeración binaria es el 2.
Se ha convenido que cuando la base sea distinta al 10 se escriba como subíndice del número:
0202020202020202
1212121212121212
Pero, generalmente no se escribe, para no hacer tantas repeticiones:
00000000
11111111
(Ahora al tomar en cuenta solamente las bases, las potencias a las que se debe elevar la base “dos” pueden ser numerosísimas, y van aumentando de derecha a izquierda, por ejemplo:
2726252423222120,
lo cual concuerda con la afirmación de arriba en el sentido de que los valores de cada posición DE DERECHA A IZQUIERDA van aumentando exponencialmente.)
Si queremos expresar el número 0 en base binaria, lo hacemos así:
00000000
En la numeración binaria las bases “dos” (no escritas en el ejemplo de arriba) se sobreentienden, están invisibles.
Abajo las he escrito, para que sean visibles, pero generalmente no se escriben.
0202020202020202
Si queremos expresar el número 1 en base binaria, lo hacemos así:
00000001.
Un 2 (invisible, porque es una base que no se escribe) elevado a la 0 potencia* es igual a 1; vale 1:
20 = 2 ^ 0 = 1.**
(* Nota: por una definición matemática, toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a 1. Entonces el “dos” invisible de la extrema derecha vale 1. Se puede expresar así: 20 = 2 ^ 0 = 1.)
(** Nota: en ciertas disciplinas matemáticas, así como en la programación informática, algunos autores e ingenieros indican o denotan la elevación de un número a una potencia, no mediante la escritura de un superíndice o número volado (por ejemplo 23 = 8), sino a través de la intercalación de un acento circunflejo o capucha (que en Word 2003 y Word 2007 se puede escribir con la clave ASCII ALT 94, ^; clave Unicode 005E: ^, o bien clave Unicode 0302: ^); por ejemplo 2 ^ 3 = 8.
(Si alguien indica: 3.14159265 ^ 2 está señalando o pidiendo que eleven π (pi) al cuadrado; el resultado es: 9.8696.
(Una y otra modalidades son correctas.)
Si queremos expresar el número 2 en base binaria, lo hacemos así:
00000010.
Un 2 (invisible, porque es una base que no se escribe) elevado a la 1 potencia es igual a 2; vale 2:
21 = 2 ^ 1 = 2.
Recuerde que el “dos” es la base, no es el número; los números solamente pueden ser: ya sea 0 (“off”) o ya sea 1 (“on”).
0202020202020202
1212121212121212
Las bases “dos” generalmente no se escriben, entonces tenemos:
00000000
11111111
Y todas las combinaciones posibles entre 0 y 1 (el “cero” significa apagado o ausente [“off”], y el “uno” significa encendido o presente [“on”]).
En este caso, de ocho bits (que forman un byte), son posibles 256 combinaciones, cada combinación representa un número, desde el 0 hasta el 255.
— — —
((( —Ahora, una larga digresión relacionada con los números 255 y 256 [el 256 es un número famoso en la matemática y en la informática, ya que 256 = 2 ^ 8 = 28 = 4 ^ 4 = 44 = 16 ^ 2 = 162; además, 256 es el número de todos los valores posibles que pueden ser almacenados en un byte, la unidad de memoria más común para expresar la cantidad de memoria de las computadoras. La palabra inglesa byte –que equivale a ocho bits– tiene algunos múltiplos famosos: kiilobyte, megabyte, gigabyte, terabyte, etcétera].
((( — En las direcciones de protocolo de internet (IP addresses, internet protocol addresses) los números entre punto y punto van de 0 hasta 255; no puede haber un número mayor a 255. Por ejemplo, el IP address de la Real Academia Española (RAE) es:
((( —Por otra parte, el URL (uniform resource locator, localizador de recursos uniforme) o DNS (domain name server [or domain name system], servidor de nombres de dominio [o sistema de nombres de dominio]) de la RAE es:
((( —Esto significa que si usted escribe en la línea de direcciones de su navegador (browser), ya sea Google Chrome, Mozilla Firefox, Internet Explorer, Opera, o Safari, los números: 193.145.222.100 (con los tres puntos que ve entre los grupos de dígitos, y nada más) y pulsa la tecla “Enter”, el navegador abrirá el sitio web de la Real Academia Española, igual que si usted hubiese escrito: www.rae.es
((( —Cómo obtener la IP address (la dirección de protocolo de internet) de un sitio web si usted ya sabe el URL o DNS (se efectúa mediante un ping):
((( —Si usted es un geek, nerd, techie o experto en informática, puede saltar estos pasos, porque seguramente ya los conoce.
((( —Un consejo útil sobre cómo hacer ping a un sitio web:
1. Vaya al menú Inicio (en la parte inferior izquierda de su pantalla). Dé clic en “Inicio” con el ratón.
2. Dé clic en “Ejecutar”.
3. Una vez que la ventana de diálogo o ventana del comando Ejecutar se ha abierto, escriba la palabra siguiente: command o simplemente escriba tres letras: cmd
4. Pulse la tecla “Enter”, o bien dé clic con el ratón en “Aceptar” o en “Ok” (según el modelo de su computadora y el sistema operativo que usted use).
5. Aparecerá una ventana negra del viejo D.O.S. * (* Disk Operating System, sistema operativo de disco).
6. Ahora usted está en el CMD.exe. Usualmente, verá lo siguiente: C: \ Documents and Settings \ Administrador> (o algo parecido a lo anterior).
7. En la última línea (después del símbolo “>”), escriba por ejemplo lo siguiente:
ping www.herrenknecht.com y pulse la tecla “Enter” (conocida también en algunas partes del mundo como “Intro”).
(Sustituya “herrenknecht” con el nombre de la página web a la que usted desea hacer ping; si es necesario, reemplace “com” con “net”, “org”, etcétera.) y pulse la famosa tecla “Enter”.
8. Lo primero que usted debe escribir en el CMD.exe o D.O.S. (la ventana negra) es el verbo inglés: ping y enseguida el URL o DNS del sitio web que usted desee, y luego pulsar la tecla “Enter”.
9. Aparecerá la dirección IP (o sea una serie de números) del sitio web o de la página web cuyo URL se ha introducido. En el caso del ejemplo, se trata de una empresa alemana, Herrenknecht, AG, que fabrica y vende máquinas tuneladoras (conocidas también como minadores o minadoras a sección completa, usadas para hacer túneles (en inglés: tunnel boring machines; en alemán: Tunnelbohrmaschinen) para introducir grandes tuberías subterráneas sin abrir el pavimento, o para construir túneles y galerías —sin abrir el pavimento– para el servicio de transporte rápido llamado metro, etcétera:
Usted ha terminado.
10. La secuencia de dígitos (IP address) es el equivalente a una dirección URL. Usted puede escribir esos números en la línea de direcciones de su navegador, y este último lo llevará al sitio web de la empresa u organización que usted busca.
11. Saber la IP address (dirección del protocolo de internet, que es una serie de dígitos en la que cada grupo entre puntos siempre es inferior a 256 [va de 0 a 255]) y no solamente el DNS o URL de un sitio web o de una empresa u organización, sirve para ciertas tareas, como por ejemplo, conocer la ubicación geográfica del dueño o inquilino de tal dirección (para esto, usted debe ir al sitio principal de Google y preguntar, al escribir ahí, por ejemplo: where is the owner of 64.124.231.250? [que significa: ¿dónde está el dueño de 64.124.231.250?], o también puede preguntar en español, por ejemplo: ¿dónde está el servidor de 208.185.238.250? [no use la palabra “dueño” en español, sino “servidor”; en inglés, sí puede usar: owner –“dueño”, en el idioma de Shakespeare–] y luego que Google le muestre a usted varios enlaces, abra uno o más para conocer la ubicación geográfica de los servidores [computadoras] de tal o cual compañía), y también sirve para bloquear un sitio web o un hacker para que ya no hagan incursiones dañinas o virulentas hacia los equipos de cómputo de usted o de sus patrones…
Esta última acción, o sea la parte final del punto 11, es algo que solamente ciertos programadores, creadores de software, ingenieros de sistemas, ingenieros en informática, hackers benéficos, geeks, nerds (estudiosos) y expertos de la informática pueden hacer… cobrando, claro.
FIN DE LA DIGRESIÓN.)))
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Si queremos expresar el número 3 en base binaria, lo hacemos así:
00000011.
El “dos” de la extrema derecha (invisible, ya que es una base) vale 1, y el segundo “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA (invisible también, ya que es una base) vale 2:
Sumamos los valores:
20 + 21 = 1 + 2 = 3.
Cuando hay un 1, el bit expresa “encendido” (on) y tiene algún valor, dependiendo de su posición.
Cuando hay un 0, el bit expresa “apagado” (off), y no tiene ningún valor, no importa la posición que ocupe dicho 0.
Seguimos:
Si queremos expresar el número 4 en base binaria, lo hacemos así:
00000100.
El “dos” (invisible, ya que es una base) de la tercera posición DE IZQUIERDA A DERECHA vale 4:
22 = 2 ^ 2 = 4.
Si queremos expresar el número 5 en base binaria, lo hacemos así:
00000101.
El “dos” (invisible, ya que es una base) de la primera posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 1, en tanto que el “dos” (invisible también, ya que es una base) de la tercera posición DE IZQUIERDA A DERECHA vale 4.
Sumamos los valores:
20 + 22 = 1 + 4 = 5.
Si queremos expresar el número 6 en base binaria, lo hacemos así:
00000110.
El “dos” (invisible) de la segunda posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 2, en tanto que el “dos” (invisible también) de la tercera posición DE IZQUIERDA A DERECHA vale 4.
Sumamos los valores:
21 + 22 = 2 + 4 = 6.
Si queremos expresar el número 7 en base binaria, lo hacemos así:
00000111.
El “dos” (invisible) de la primera posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 1; el “dos” (invisible) de la segunda posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 2; y finalmente el “dos” (invisible también) de la tercera posición DE IZQUIERDA A DERECHA vale 4.
Sumamos los valores:
20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 4 = 7.
Si queremos expresar el número 8 en base binaria, lo hacemos así:
00001000
El “dos” (invisible) de la cuarta posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 8:
23 = 8.
Si queremos expresar el número 9 en base binaria, lo hacemos así:
00001001
El “dos” (invisible) de la primera posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 1; y el “dos” (invisible) de la cuarta posición DE DERECHA A IZQUIERDA vale 8:
Sumamos los valores:
20 + 23 = 1+ 8 = 9
Etcétera.
Imagine una serie de ocho “unos” escritos en sistema binario (es decir de base 2; se ha convenido que cuando la base sea distinta al 10, se escriba como subíndice del número, pero generalmente no se escribe, para no hacer tantas repeticiones).
1212121212121212
Ahora, sin escribir la base:
11111111
Ahora bien, por su posición, los “doses” no valen lo mismo, el 2 de la extrema derecha vale 1, ya que en la numeración binaria se considera que está elevado a la 0 potencia: 20 o bien: 2 ^ 0.*
20 = 2 ^ 0 = 1.
* Por una definición matemática, toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a 1. Entonces el “dos” de la extrema derecha vale 1. Se puede expresar así: 20 = 2 ^ 0 = 1.
Al movernos una posición a la izquierda estamos en el segundo “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale dos, ya que está elevado a la primera potencia o “a la uno”: 21 = 2 ^ 1 =
2.
Al movernos una posición más a la izquierda estamos en el tercer “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale cuatro, ya que está elevado a la segunda potencia o al cuadrado: 22 = 2 ^ 2 = 4.
Al movernos una posición más a la izquierda estamos en el cuarto “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale ocho, ya que está elevado a la tercera potencia o al cubo: 23 = 2 ^ 3 = 8.
Al movernos una posición más a la izquierda estamos en el quinto “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale dieciséis, ya que está elevado a la cuarta potencia: 24 = 2 ^ 4 = 16.
Al movernos una posición más a la izquierda estamos en el sexto “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale treinta y dos, ya que está elevado a la quinta potencia: 25 = 2 ^ 5 = 32.
Al movernos una posición más a la izquierda estamos en el séptimo “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale sesenta y cuatro, ya que está elevado a la sexta potencia: 26 = 2 ^ 6 = 64.
Al movernos una posición más a la izquierda estamos en el octavo “dos” DE DERECHA A IZQUIERDA; este “dos” vale ciento veintiocho, ya que está elevado a la séptima potencia: 27 = 2 ^ 7 = 128
Ahora sumemos los ocho resultados: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255.
El número expresado en base 10 o base decimal como: 255 (doscientos cincuenta y cinco) se expresa en base 2 o base binaria como: 11111111 (ocho “unos”, o sea ocho bits en “on”).
Ahora bien, si queremos expresar el número 254 en base binaria, tenemos que restar “uno”, al 255 y la expresión en base 2 o base binaría es:
11111110.
O sea que la posición de la extrema derecha la expresamos apagada u “off”, con un cero.
Si queremos expresar el número 253 en base binaria, tenemos que restar “dos”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11111101.
O sea que la segunda posición DE DERECHA A IZQUIERDA la expresamos apagada u “off”, con un cero.
Si queremos expresar el número 252 en base binaria, tenemos que restar “tres”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11111100.
Si queremos expresar el número 251 en base binaria, tenemos que restar “cuatro”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11111011.
Si queremos expresar el número 250 en base binaria, tenemos que restar “cinco”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11111010.
Si queremos expresar el número 249 en base binaria, tenemos que restar “seis”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11111001.
Si queremos expresar el número 248 en base binaria, tenemos que restar “siete”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11111000.
Si queremos expresar el número 247 en base binaria, tenemos que restar “ocho”, y la expresión en base 2 o base binaria es:
11110111.
Etcétera.
11.2. Ya existen los traductores binarios.
Hace decenios, los científicos hacían cálculos con papel y lápiz o pluma (en España le llaman bolígrafo o boli, y en Sudámerica, bolígrafo), o con lo anterior más las calculadoras; trabajaban más, consumían o invertían más tiempo.
Pero actualmente, hay traductores binarios.
Simplemente vaya a Google, y en el rectángulo de búsqueda escriba: traductor binario, o en inglés, binary translator.
Aparecerán algunos enlaces o ligas; abra uno, por ejemplo:
En ese sitio web, arriba del rectángulo blanco (rectángulo o espacio para escribir) hay dos rectángulos más pequeños. El del lado izquierdo dice: “De texto a binario”, en tanto que dentro del que está a la derecha podemos leer: “De binario a texto”.
Primeramente, usted puede dar clic en el rectángulo pequeño de la izquierda (“De texto a binario”), y luego puede escribir una sucesión de caracteres.
Escriba algunas palabras, o algunas letras, números o signos: abcde 012345 ~ ^ / \ [ ] ( ) “$ % & & / / ( ) = ? ¡ ! + / ÷ √ * + - ×.
Luego, dé clic en “Traducir”.
Ahora bien puede hacer algo muy simple:
Escriba la letra a, por ejemplo, y dé clic en “Traducir”.*
El número de la letra a en las claves ASCII (American Standard Code for Information Interchange, Código Estándar Estadounidense para el Intercambio de Información) es el 97, esto quiere decir que si en Word 2003 o Word 2007 usted presiona las teclas ALT 97, se producirá una letra a minúscula (pero, en este caso, es más fácil presionar la tecla de la letra a directamente; el ejemplo se da para que usted compruebe o acepte la evidencia de que la clave ALT 97 corresponde a una letra a minúscula).
* En el citado sitio web, escriba una a, luego dé clic en el rectángulo gris que dice “Traducir” y baje en su pantalla para ver el resultado dentro de un rectángulo grande, generalmente de color amarillo limón.
Otros sitios traductores funcionan de formas ligeramente diferentes o muy diferentes. Por lo tanto, al usarlos, baje y suba dentro de la página, lea las instrucciones (si las hay), piense, actúe.
En Word 2003 o Word 2007, primeramente se presiona la tecla ALT, y luego, sin soltarla, se presionan las teclas 9 (nueve) y 7 (siete); si usted presiona las teclas ALT 98, obtendrá una letra b, y así sucesivamente.
Entonces, al regresar al sitio web arriba indiciado, si usted escribe una letra a dentro del rectángulo para traducción, y está activada la casilla “De texto a binario”, arriba, obtendrá ocho dígitos binarios:
01100001
Sumemos los dígitos significativos (los que están en “on”), por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA:
1 + 32 + 64 = 97.
El número 97 es la clave ASCII para la letra a minúscula.
Pero, si usted escribe el número 97 en el rectángulo de traducción del sitio arriba indicado (www.traductorbinario.com) o de casi cualquier sitio web similar, obtendrá lo siguiente:
00111001 00110111
Los ocho dígitos de la izquierda, es decir 00111001, corresponden a la clave ASCII 57, que es la clave ASCII para el número 9, en tanto que los ocho dígitos de la derecha (00110111) corresponden a la clave ASCII 55, que es la clave ASCII para el número 7.
Sumemos por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA, los dígitos significativos (los que están en “on”) del octeto de la izquierda (00111001):
1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Sumemos por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA, los dígitos significativos (los que están en “on”) del octeto de la derecha (00110111):
1 + 2 + 4 + 16 + 32 = 55.
Enseguida, si usted escribe el número 097 en el rectángulo de traducción del sitio arriba indicado (www.traductorbinario.com) o de casi cualquier sitio web similar, obtendrá lo siguiente:
00110000 00111001 00110111
Los ocho dígitos o el octeto de la izquierda, es decir 00110000, corresponde a la clave ASCII 48, que es la clave ASCII para el número 0; los ocho dígitos o el octeto del centro es: 00111001, y corresponden a la clave ASCII 57, que es la clave ASCII para el número 9; en tanto que los ocho dígitos o el octeto de la derecha (00110111) corresponde a la clave ASCII 55, que es la clave ASCII para el número 7.
Sumemos por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA, los dígitos significativos (los que están en “on”) del octeto de la izquierda (00110000):
16 + 32 = 48.
Sumemos por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA, los dígitos significativos (los que están en “on”) del octeto del centro (00111001):
1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Sumemos por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA, los dígitos significativos (los que están en “on”) del octeto de la derecha (00110111):
1 + 2 + 4 + 16 + 32 = 55.
Ahora, si usted activa la casilla o rectángulo “De binario a texto”, y escribe dentro los ocho caracteres siguientes: 0110 0001 (juntos en un grupo de ocho o separados en dos grupos de cuatro) obtendrá una letra a.
Sume por sus posiciones DE DERECHA A IZQUIERDA, los dígitos significativos (los que están en “on”) del octeto que ha obtenido (01100001):
1 + 32 + 64 = 97.
97 es la clave ASCII (ALT 97) para la letra a minúscula.
Ahora, con la misma casilla “De binario a texto” activada, pruebe a escribir:
00111001 00110111
Obtendrá un número 97.
Algunas otras claves ASCII son:
En Word 2003 o Word 2007:
Si usted presiona ALT 48, obtendrá el número 0: 0.
Si usted presiona ALT 57, obtendrá el número 9: 9.
Si usted presiona ALT 55, obtendrá el número 7: 7.
Si usted presiona ALT 160, obtendrá una letra a minúscula con un acento agudo: á.
Si usted presiona ALT 0225, obtendrá una letra a minúscula con un acento agudo: á.
Si usted presiona ALT 0215, obtendrá un signo de multiplicación (o “por”): ×.
La pulsación de ALT 184 producirá el símbolo de Copyright: ©; ALT 0169 producirá el mismo símbolo: ©
Si pulsa ALT 169, obtendrá el símbolo de Registrado o Registered: ®
Si pulsa ALT 0153, obtendrá el símbolo de Trademark (Marca Registrada): ™.
Si pulsa ALT 0128, obtendrá el símbolo del euro: €.
Si pulsa ALT 0163, obtendrá el símbolo de la libra esterlina: £.
Si pulsa ALT 190, obtendrá el símbolo del yen japonés: ¥.
Si pulsa ALT 20, obtendrá el símbolo de fin de párrafo: ¶.
Si pulsa ALT 21, obtendrá el símbolo de párrafo: §.
Si pulsa ALT 35, obtendrá el símbolo de número: # (conocido también en algunos países como “gato”, y en otros como “tres en raya”).
Si pulsa ALT 36, obtendrá el símbolo del peso o del dólar: $.
Si pulsa ALT 37, obtendrá el símbolo de porcentaje o “por ciento”: %.
Si pulsa ALT 0137, obtendrá el símbolo de “por millar” o “al millar” o “por mil”: ‰.
Si pulsa ALT 38, obtendrá el símbolo llamado en inglés ampersand (en inglés significa y se lee: “and”); en francés se llama esperluette, que es un carácter o símbolo especial creado a partir de la unión de las letras de la palabra latina y francesa et: &. En latín y en francés se lee: “et”. &.
Si usted pulsa ALT 945, obtendrá una letra griega alfa minúscula: α, la primera letra del alfabeto griego, equivalente a la letra a del español.
Si usted pulsa ALT 913, obtendrá una letra griega alfa mayúscula: Α, la primera letra del alfabeto griego, equivalente a la letra A del español.
Si usted pulsa 969, obtendrá una letra griega omega minúscula: ω, la vigésima cuarta y última letra del alfabeto griego, equivalente a la letra “o larga” del idioma latín: ō (ALT 333).
Si usted pulsa ALT 937, obtendrá una letra griega omega mayúscula: Ω, la vigésima cuarta y última letra del alfabeto griego, equivalente a la letra “O larga” del idioma latín: Ō (ALT 332).
Si usted pulsa ALT 956, obtendrá la letra griega mu minúscula: μ, que es la duodécima letra del alfabeto griego, y equivale a la letra m del español.
Si usted pulsa ALT 230 o bien ALT 0181, obtendrá una letra griega mu minúscula: µ, que es usada como símbolo de micro- (una millonésima parte): 1 × 10 ^ -6 = 0.000001
O bien: 1 × 10-6 = 0.000001
Así, si la palabra milímetro se abrevia o se simboliza: mm
micrón o micrómetro o micra se simboliza: µm.
Si pulsa ALT 960, obtendrá la letra griega pi minúscula: π, que es la decimosexta letra del alfabeto griego, y equivale a la letra p del español.
En matemáticas, el símbolo π tiene un valor de 3.14159265…
La letra griega π (pi) representa: la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro, o sea un diámetro cabe pi veces en la circunferencia correspondiente; es decir, un diámetro cabe 3.14159265 veces en la circunferencia correspondiente; o bien: una circunferencia equivale a 3.14159265 diámetros de su respectivo círculo.
Para fines prácticos, en las escuelas el valor de π (pi) se redondea a 3.1416, o incluso a 3.14.
Si usted presiona ALT 64, obtendrá una arroba: @, símbolo que en inglés se lee: “at”, y en latín: “ad”, de donde procede, ya que los amanuenses y monjes copistas de la Edad Media, cuando leían la preposición “ad”, escrita por el autor de un trabajo original (valga la redundancia), al copiarla escribían: @, para ahorrar tiempo, trabajo y tinta.
Si usted presiona ALT 65, obtendrá una letra A mayúscula; ALT 66 le dará una letra B mayúscula; ALT 67 le dará una letra C mayúscula, etcétera.
ALT 89 producirá una letra Y mayúscula; ALT 90 generará una letra Z mayúscula.
Si usted presiona ALT 32, obtendrá un espacio en blanco:
Si usted presiona ALT 48, obtendrá el número cero: 0; si presiona ALT 49, obtendrá el número uno: 1; si presiona ALT 50, obtendrá el número 2, y así sucesivamente.
Hay más claves ASCII en
12. Máquina de Turing.
Alan Turing (1912-1954) fue un destacado matemático y lógico británico, que creó la máquina de Turing.
Se trata de una máquina virtual. Se puede leer una explicación en:
Además, en Wikipedia, usted puede consultar el artículo: máquina de Turing.
En el sitio indicado arriba (barzana), las explicaciones me parecen más sencillas para los que saben poco de numeración binaria.
— —
Yo, Alejandro Héctor Ochoa González, un guadalajarense por nacimiento, herencia, residencia, convicción y conveniencia –con una impronta sonorense–, dedico este escrito, con suma gratitud y reconocimiento, a mis maestras de educación preprimaria y primaria en el Colegio Niebla, de Ciudad Obregón, Sonora —calle Sinaloa Sur 747:* Cornelia Niebla, Dolores Niebla de García, Isabel Caloca de Velázquez, Teresa García Niebla, Yolanda Duarte Castro, Gloria Yépiz Coronado, Magda Acosta, Evangelina Camacho (maestra de inglés), y la directora, profesora Rosario Niebla Lugo; así como a mi maestro de Español Inductivo (el autor del libro era: Maurilio Barriga Gaona) en la Escuela Secundaria del Instituto La Salle de Ciudad Obregón, Sonora (un colegio en el que se practica mucho el basquetbol y el beisbol), profesor nayarita-sonorense Gregorio Patrón; a mis maestros de matemáticas en la misma escuela: el ingeniero Bátiz y el hermano lasallista Ignacio Navarro Castañeda (quien fumaba cigarrillos Fiesta); y a los de preparatoria: Alfonso Rodríguez García de Alba (hermano lasallista y director del colegio, quien indicó a nosotros, sus discípulos, que compráramos el libro Álgebra, de Rees & Sparks, y además impartía cátedras de química y en ocasiones de inglés), ingeniero Bórquez, y Victoriano García Angüis (padrino de mi generación, la X Generación, 1974-1977), quien podía escribir de espaldas al pizarrón con una u otra mano y al mismo tiempo exponer verbalmente la clase, así como a mi maestro de literatura en el bachillerato, Jorge Herrera Chavarría. Algunos ya fallecieron, para ellos, In memoriam.
*Inolvidable como para cualquier ex niño/a su escuela primaria; en este caso, inolvidable además porque el número del inmueble coincide con la cifra del jet “Jumbo”, el Boeing 747.
